轴对称——最值问题(通用版)(含答案)

轴对称——最值问题（通用版）

试卷简介:检测学生对于最值问题中一类题目的做题思路，如奶站问题，天桥问题等，需要学生利用轴对称将线段和（差）进行转化，借助相关定理（如两点之间线段最短，三角形三边关系等）解决问题。

一、单选题(共10道，每道10分)

1.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底5cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿5cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cm

A. B.15

C. D.12

答案：B

解题思路：

解决蚂蚁爬最短路线问题，画出圆柱的侧面展开图，找到A，C两点对应的位置．

沿着A点所在的母线展开，得到下图：

其中EA=CD=5cm，BD=9cm．因为题干条件给出的点A和点C分别是杯外和杯内的点，所以问题转化成在线段EF上找到一点P，使得PA+PC的值最小．

解法如下：

如下图，作点A关于EF的对称点．

的长度即为要求的最短距离，过C点作EB的垂线通过勾股定理易求得．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题

2.如图，在锐角三角形ABC中，，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D．若M，N分别是线段AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是( )

A.4

B.5

C.6

D.2

答案：A

解题思路：

如图，作点N关于AD的对称点E，则点E落在直线AC上，

此时（当B，M，E三点共线时等号成立），

由垂线段最短可知，当BE⊥AC，点M是BE和AD的交点时，BM+MN的值最小，

此时．

试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题

3.如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在AB，BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC 上的动点，则PE+PF的最小值是( )

A. B.

C. D.

答案：C

解题思路：

如图，作点F关于AC的对称点，则点落在CD边上，且．

此时．

根据两点之间线段最短可得，的最小值为的长度．

如图，过点作⊥AB于点G．

根据题意可得，，

∴．

试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题

4.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为( )

A.1

B.

C.2

D.

答案：B

解题思路：

如图，作点Q关于BD的对称点，则点落在AD边上，且．

∵点Q是CD上任意一点，

∴点是AD边上任意一点．

题目转化为求的最小值，根据题意可知，

当⊥AD时，最小．

如图，过点C作CE⊥AD，则．

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠CDE=180°-∠A=60°，CD=AB=2，

在Rt△CDE中，．

试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题

5.如图，两点A，B在直线的异侧，点A到的距离AC=2，点B到的距离BD=1，CD=3，P 在直线上运动，则的最大值为( )

A. B.

C.3

D.

答案：D

解题思路：要求最大值，使点在直线同侧．

如图，作点B关于直线的对称点，连接并延长，与直线的交点即为使得

取最大值时对应的点P．

此时．

如图，过点作于点E．

易知则四边形为矩形，

∴，，

∴AE=1．

在中，，AE=1

∴，即的最大值为．

试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题

6.如图所示，已知，为反比例函数图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是( )

A. B.（1，0）

C. D.

答案：D

解题思路：由题意，得，，

如图，连接AB并延长，与x轴的交点即为线段AP与线段BP之差达到最大时的点P，

设直线AB的解析式是y=kx+b，

把A，B的坐标代入得：，

解得：，

∴直线AB的解析式是，

当y=0时，，

∴，

故选D

试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系定理

7.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，．在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最小，则此时AM+NB=( )

A.6

B.8

C.10

D.12

答案：B

解题思路：如图，将点A向下平移距离为4，到，连接交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a于点M，连接AM．

∵a与b之间的距离为4，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴．此时，其值最小．

过点B作BE⊥，交的延长线于点E，

易得AE=2+4+3=9，，，

在Rt△AEB中，，

在中，．

试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题

8.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是( )

A.10

B.15

C.20

D.30

答案：A

解题思路：点P是定点，点Q和点R是在定直线运动的动点．