2020年高中数学必修三第一章《算法初步》1.3算法案例 (一)
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2020年高中数学必修三第一章《算法初步》
算法案例(一)
学习目标 1.理解辗转相除法与更相减损术中的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析;2.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质;3.对简单的案例能设计程序框图并写出算法程序.
知识点一求两个数的最大公约数的算法
思考注意到8 251=6 105×1+2 146,那么8 251与6 105这两个数的公约数和6 105与2 146的公约数有什么关系?
答案显然8 251与6 105的公约数也必是2 146的约数,同样6 105与2 146的公约数也必是8 251的约数,所以8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.
梳理一般地,求两个数的最大公约数有2种算法:
(1)辗转相除法
①辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法.
②辗转相除法的算法步骤
第一步,给定两个正整数m,n.
第二步,计算m除以n所得的余数r.
第三步,m=n,n=r.
第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;
否则,返回第二步.
(2)更相减损术的运算步骤
第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用2约简;若不是,执行第二步.
第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
知识点二求n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的值的算法
思考衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度.把多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1变形为f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1,然后求当x=5时的值,为什么比常规逐项计算省时?
答案从里往外计算,充分利用已有成果,可减少重复计算.
梳理秦九韶算法的一般步骤:
把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式:
(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0,求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=a n x+a n-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+a n-2,
v3=v2x+a n-3,
…
v n=v n-1x+a0,
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.
类型一辗转相除法
例1试用辗转相除法求325、130、270的最大公约数.
解∵325=130×2+65,130=65×2,∴325与130的最大公约数是65.∵270=65×4+10,65=10×6+5,10=5×2,∴65与270的最大公约数是5,故325、130、270这三个数的最大公约数为5.
反思与感悟辗转相除法的实质:对于给定的两个正整数,用较大的数除以较小的数,若余数不为零,则将余数和较小的数构成一对新数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时的小数就是原来两个正整数的最大公约数.
跟踪训练1用辗转相除法求204与85的最大公约数时,需要做除法的次数是________.答案3
解析用辗转相除法可得204÷85=2……34,85÷34=2……17,34÷17=2,此时可以判断204与85的最大公约数是17,做了3次除法得出结果.
类型二更相减损术
例2试用更相减损术求612、396的最大公约数.
解方法一612÷2=306,396÷2=198,306÷2=153,198÷2=99,∴153-99=54,99-54=45,54-45=9,45-9=36,36-9=27,27-9=18,18-9=9.所以612、396的最大公约数为9×22=36.
方法二612-396=216,396-216=180,216-180=36,180-36=144,144-36=108,108-
36=72,72-36=36.故36为612、396的最大公约数.
反思与感悟用更相减损术的算法步骤
第一步,给定两个正整数m,n,不妨设m>n.
第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简,使它们不同时是偶数,约简后的两个数仍记为m,n.
第三步,d=m-n.
第四步,判断“d≠n”是否成立,若是,则将n,d中的较大者记为m,较小者记为n,返回第三步;否则,2k d(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数.
跟踪训练2用更相减损术求261和319的最大公约数.
解∵319-261=58,
261-58=203,
203-58=145,
145-58=87,
87-58=29,
58-29=29,
∴319与261的最大公约数为29.
类型三秦九韶算法的基本思想
例3已知一个5次多项式为f(x)=4x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8,用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.
解将f(x)改写为
f(x)=((((4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8,
由内向外依次计算一次多项式当x=5时的值:
v0=4;v1=4×5+2=22;
v2=22×5+3.5=113.5;
v3=113.5×5-2.6=564.9;
v4=564.9×5+1.7=2 826.2;
v5=2 826.2×5-0.8=14 130.2.
∴当x=5时,多项式的值等于14 130.2.
反思与感悟秦九韶算法之所以优秀,一是其对所有多项式求值都适用,二是充分利用已有计算成果,效率更高.