初中数学 圆的基本性质

内容 基本要求

略高要求

较高要求

圆的有关概念 理解圆及其有关概念

会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题

圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系

能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题

能运用圆的性质解决有关问题

圆周角 了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角

会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题

能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题

一、圆的基本概念

圆的定义

1． 描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所

形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径．

2． 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径． 3． 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读作”圆O “． 4． 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：同圆或等圆的半径相等．

弦和弧

1． 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．

2． 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

4． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． 5． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

6． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 8． 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

二、垂径定理

圆的对称性

圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．

⑴ 旋转对称性：无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合，对称中心为圆心． 圆的旋转对称性 弦、弧、弦心距，圆心角之间的关系：

知识点睛

中考要求

第一讲

圆的基本性质

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距这四组量中，只要有其中一组量相等，

注意：①前提条件是在同圆或等圆中；

②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等． ⑵ 轴对称性：它的任意一条直径所在的直线均为它的对称轴．

圆的轴对称性⇒垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理

1． 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2． 推论1：⑴ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．

注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理

有：222()2

a

r d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．

r a 2

d O C

B

A

重点：

（1）揭示圆有关的本质属性 （2）垂径定理的探索及其应用 难点：

垂径定理探索及其应用

一、圆的基本概念

所对的两圆心角相等

所对的两条弦相等 所对的两条弧相等

所对的两条弦的弦心距相等

重、难点

例题精讲

【例1】 判断题：

⑴ 直径是弦 ( ) ⑵ 弦是直径 ( ) ⑶ 半圆是弧 ( ) ⑷ 弧是半圆 ( ) ⑸ 长度相等的两条弧是等弧 ( ) ⑹ 等弧的长度相等 ( ) ⑺ 两个劣弧之和等于半圆 ( ) ⑻ 半径相等的两个圆是等圆 ( ) ⑼ 两个半圆是等弧 ( ) ⑽ 圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )

【例2】 下列判断中正确的是( )

A ． 平分弦的直线垂直于弦

B ． 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧

C ． 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧

D ． 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦

【例3】 如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则( )

A ． ''A

B A B = B ． ''AB A B >

C ． AB 的度数=''A B 的度数

D ． AB 的长度=''A B 的长度

【例4】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，

EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )

A ． a b c >>

B ． a b c ==

C ． c a b >>

D ． b c a >>

O

N M

H

G F

E D

C B A

二、垂径定理

【例5】 (2009年甘肃白银)如图，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半

径为( ) A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

M

O

B

A

【例6】 (2006年青岛市)某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形

截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请你补全这个输水管道的圆形截面；

(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．

【例7】 如图所示，在Rt ABC ∆中90C ∠=︒，2AC 1BC =，若以C 为圆心、CB 的长为半径的圆交

AB 于P ，则AP = ．

P

C

B

A

【例8】 如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、，8cm GB =，1cm AG =，2cm DE =，

则EF =_________．

G

O

F

E

D

C B

【例9】 已知O ⊙的直径是50cm ，O ⊙的两条平行弦40cm AB =，48cm CD =，求弦AB 与CD 间的距离．

【例10】 在半径为1的O ⊙中，弦AB AC 、32BAC ∠的度数为________．