哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想

两百多年前，彼得堡科学院院士哥德巴赫曾研究过“将一个数表示成几个素数的和”的问题，他取了很多数做试验，想把它们分解成几个素数的和，结果得到一个断语：“总可将任何一个数分解成不超过三个素数之和．”但是哥德巴赫不能证明这个问题，甚至连如何证明的方法也没有，于是他写信给另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉，他在1742年6月7日的信中写道：“我想冒险发表下列假定‘大于5的任何数都是三个素数的和’．”这就是后来举世闻名的哥德巴赫猜想．同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说：“我认为‘每一个偶数都是两个素数之和’，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的．”

这两个数学家的通信内容传播出来之后，人们就称这个猜想为哥德巴赫猜想或者哥德巴赫-欧拉猜想．

完整地说，哥德巴赫猜想是：大于1的任何数都是三个素数的和．

后来，人们把它归纳为：

命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；

命题B：每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和．例如：

50=19+31；51=7+13+31；

52=23+29；53=3+19+31．

或50=3+47=7+43=13+37=19+31等．

1900年，著名数学家希尔伯特在巴黎国际数学家会议上提出了国际数学要研究的23个题目(后被称为希尔伯特问题)，其中哥德巴赫猜想命题A与另外两个有关问题一起，被概括成希尔伯特第8问题．这是著名的世界难题．1912年，第五届国际数学家会议上，著名数论大师兰道发言说，有四个数论上的问题是当时的科学水平不能解决的，其中一个是哥德巴赫猜想，即使把它改为较弱的命题：不论是不超过3个，还是不超过30个，只要证明存在着这样的正数C，而能使每一个大于或等于2的整数，都可以表示为不超过C个素数之和”(称为命题C)，也是当代数学家力所不能及的．

1921年，著名数论大师哈代，在哥本哈根召开的国际数学会议上说，哥德巴赫猜想的困难程度，可以与任何没有解决的数学问题相比，是极其困难的，但是他没有说是不可能的．

事情出乎意料，哥德巴赫猜想问题的解决出现了一些转机，坚不可摧的哥德巴赫堡垒正在逐个被攻破．

1930年，25岁的苏联数学家列夫·格里高维奇·西涅日尔曼(1905—1938)，用他创造的“正密率法”证明了兰道认为当代数学家力所不能及的命题C，还估算出这个数C不会超过S，并算出S≤800000．人们称S为西涅日尔曼常数．这是哥德巴赫猜想的第一个重大突破，可惜这位天才数学家只活了33岁．

1930年以后，数学家兰道、罗曼诺夫、赫力邦、李奇等对西涅日尔曼方法作了最准确的分析，竞相缩小S的估值，到1937年，得到S≤67，又是一大进步．

重要的是，不论一个数是多么大，都可将它分解成素数的和的问题已被证明了，如对于数

835042000000000000000000000

或者对于我们已知的999(这个数之大可以写出来编成30大卷的书)，我们同样可以断定，它们可以表示成不超过67个素数的和．甚至休克斯提出的“空前的数”

这种比999大得多的数，也能根据西涅日尔曼的证明，表示成不超过67个素数的和的形状．

1937年，苏联科学院院士伊凡·马特维奇·维诺格拉多夫，应用英国数学家哈代与李脱伍特创造的“圆法”和他创造的“三角和法”证明了：对于充分大的奇

数，西涅日尔曼常数不超过3．或者说成：对于充分大的奇数，都可表示为三个奇数之和．

维诺格拉多夫基本上解决了命题B、通常称为“三素数定理”．他的工作，相当于证明了西涅日尔曼常数S≤4．

命题B基本上被解决了，然而到命题A的证明竟是如此困难，有人从6～3300000中的任何偶数，发现都能表示成两个奇素数之和，但这仅是验证，人们追求的仍然是从数学上证明，每个大于或等于6的偶数都可表示为两个奇素数之和，再多的有限数，即使大到无法想象的数也无用，除非找到反例否定哥德巴赫猜想．

人们在研究命题A的过程中，开始引进了“殆素数”的概念．所谓“殆素数”就是素数因子(包括相同的和不同的)的个数不超过某一固定常数的自然数．我们知道，除1以外，任何一个正整数，一定能表示成若干素数的乘积，其中每一个素数，都叫做这个正整数的素因子．相同的素因子要重复计算，它有多少素因子是一个确定的数．

例如，从25～30这六个数中，

25=5×5 有2个素因子，

26=2×13 有2个素因子，

27=3×3×3 有3个素因子，

23=2×2×7 有3个素因子，

29是素数有1个素因子，

30=2×3×5 有3个素因子．

于是可说25、26、29是素因子不超过2的殆素数，27、28、30是素因子不超过3的殆素数．

用殆素数的新概念，可以提出命题D来接近命题A．

命题D：每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和．这个命题简化为“m+n”．

这样，哥德巴赫猜想的最后证明的方向就更明朗化了：如果能证明，凡是比某一个正整数大的任何偶教，都能表示成一个素数加上两个素数相乘，或者表示成一个素数加上一个素数，就算证明了“1+2”．当然如果能证明“1+1”就基本上证明了命题A，也就基本解决了哥德巴赫猜想了．

1920年，挪威数学家布朗证明了“9+9”．

1924年，德国数学家拉代马哈证明了“7+7”．

1932年，英国数学家埃斯特曼证明了“6+6”．

1938年，苏联数学家布赫雪托布证明了“5+5”．

1940年，苏联数学家布赫雪托布证明了“4+4”．

1938年，中国数学家华罗庚证明了几乎全体偶数都能表示成两个素数之和，即几乎所有偶数“1+1”成立．

1956年，中国数学家王元证明了“3+4”．

1956年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了“3+3”．

1957年，中国数学家王元又证明了“2+3”．

1962年，中国年轻数学家潘承桐证明了“1+5”，这是证明了相加的两个数中，有一个肯定是素数的成果，而另一个殆素数的因子小到不超过5．1962年，苏联数学家巴尔巴恩也证明了”1+5”．

1963年，中国数学家王元、潘承桐及苏联数学家巴尔巴恩分别证明了

“1+4”．

1965年，维诺格拉多夫、布赫雪托布证明了“1+3”．

1965年，意大利数学家朋比尼也证明了“1+3”．

1966年，中国数学家陈景润宣布证明了“1+2”．这是在经历了240年的漫长的历程中所取得的全世界公认的最好的研究成果，可是由于没有发表详细的证明，因此在国际上反响不大．

1973年，陈景润在极其困难的条件下，继续奋战，发表了他的著名论文：《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》，公布了全部详细