解析几何竞赛题选

B
十七、求二球面 x2 + y2 + z2 = 9, (x − 5)2 + y2 + z2 = 1的公 A
G
切锥面方程。
十八、求椭球面 x2 + y2 + z2 = 1被点A(2,1, −1)所平分的弦。
25 16 9
十九、 求椭球面 x2 + y2 + z2 = 1的平行于矢量v(2,1, 2)的弦的中点的轨迹。
在直角坐标系中，求直线
⎧2x + ⎨⎩x + y
y−z + 2z
= =
0 0
到平面π
:3x+By+
z=0
的
正交投影轨迹的方程, 其中B是常数
24. 在直角坐标系中对于参数λ 的不同取值, 判断下面平面二次曲
线的形状:x2+y2+2λxy+λ=0.对于中心型曲线, 写出对称中心的坐标;
对于线心型曲线, 写出对称直线的方程.
3
条直线, 求证: A2 + B2 = C2 + D2 .
十二、直线l1过点
(1,1,1)
,与
l2
:
⎧x
⎨ ⎩
x
+ −
y y
+ −
z=0 3z = 0
相交,交角为
π 3
,求l1
的方程.
十三、 证明球面 (x −1)2 + ( y −1)2 + (z − 2)2 = 4 与球面
(x +1)2 + ( y − 3)2 + z2 = 9
B
F
D
c
C
变动, 试求P 点的轨迹.
十、 在一个仿射坐标系中, 已知直线l1 有一般方程
⎧x − y + z + 7 = 0 ⎨⎩2x − y − 6 = 0
l2经过点 M = (−1,1, 2) ,平行于向量 u = (1, 2, −3) ,试判别它们的位置关系.
十一、 平面 Ax+By+Cz+D＝0与单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1 的交线是两
六、在空间直角坐标系中,
l1：x
− 1
a
=
y −2
=
z 3
,
l2：2x
=
y −1 1
=
z −2
是一对相交直线.
(1) 求a .
Fra Baidu bibliotek
(2) 求l2 绕l1 旋转出的曲面的方程.
1
七、求经过x 轴且与单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1 的交线Γ为圆的平面
4
π的方程.
八、 证明四面体的每一个顶点到对面重心的线段共点, 且这点到顶
R=
lmn
.
(l + m + n)(l + m − n)(l − m + n)(m + n − l)
m
l β Cα
γ
M
L
n
C
十六、ΔABC的面积为1，点E, F,G分别在边 BC,CA, AB上，AE于点R处平分BF, BF于点 S处平分CG，CG于点T 处平分AE, 求ΔRST的面积。
F
S
E
T R
解析几何培训试题选
一、在仿射坐标系中, 求过点M0 (0,0,−2)与平面π1 : 3x − y + 2z −1 = 0
平行且与直线
l1
:
x
−1 4
=
y − 3 = z 相交的直线l
−2 1
的方程.
二、过x 轴和y 轴分别做动平面, 交角α是
常数, 求交线轨迹的方程, 并且证明它是一个锥面.
三、在直角坐标系中, 球面的方程为: (x −1)2 + y2 + (z +1)2 = 4
的方程.
五、
(1)
在直角坐标系中,
一个柱面的准线方程为
⎧xy = 4 ⎨⎩z = 0
.
母线方向
为(1,−1,1,), 求这个柱面的方程.
(2) 在平面直角坐标系Oxy 中, 二次曲线S 的方程为
x2−3xy+y2+10x−10y+21=0,求I1 ,I2 ,I3 ; 指出这是什么二次曲线, 并且
确定其形状.
求所有与向量u(1,1,1) 平行的球面的切线所构成的曲面的方程.
四、在仿射坐标系中, 已知直线l1 ,l2 的方程分别是:
x + 13 = y − 5 = z , x −10 = y + 7 = z
2
3 15
41
(1) 判断直线l1 与l2 的位置关系, 要求写出理由;
(2) 设直线l 的一个方向向量为 v(8,7,1) 并且l与l1和l2都相交, 求直线l
有交点, 并求出交圆的圆心坐标.
JJJG G JJJG G
十四JJJG、已知ΔABC，AB = a, AC = b,外心为P,
求 AP及ΔABC外接圆半径。
A
C
G a JG
JG
f O
G
G c
d G b
e
B
2
十五、设ΔLMN的三边长为MN = l, NL = m, LM = n， N 证明：外接圆半径为
点的距离是它到对面重心的距离的3倍.
A
九、一条直线分别交坐标面yoz,zox,xoy 于 三点A,B,C. 当直线变动时, 直线上三定点 A,B,C也分别在三个坐标面上变动. 另外,
O
直线上有第四点P, 它与A,B,C的距离分别 为a,b,c (abc ≠ 0) , 当直线按照这样的规定
a
P' P
Eb
9 16 4
20. 求双曲抛物面x2 − y2 = 2z的互相垂直的两条直母线交点的轨迹。 21. 求曲面(x + y + z)(2x + y − z) = 6z上过点M (1,1,1)的直母线方程。
22. 求单叶双曲面：x2
a2
+
y2 b2
−
z2 c2
= 1的三个互相垂直的切平面交点的轨迹。
23.