两个直角三角形相似的判定
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1. 两条直角边对应成比例的两直角三 角形相似。 （ ） 2. 有一锐角相等的两直角三角形相 似。 （ ） 3.
一直角三角形的三边分别为3，4， 5，另一直角三角形的两边分别为6， 8，则这两个直角三角形相似。
（ ×）
例1、 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90° ，AC=a，BC=b，当BD与a，b之间满足怎 样的关系式时，△ABC∽△CDB？
∠B= ∠两角对应相等，两三角形相似。 B' 定理3： ∠A= ∠A' ∠B= ∠B' △ABC∽△A'B'C'
B
C
一、知识回顾
2．判定两个直角三角形全等的方法
有哪些？
▲判定直角三角形全等除“SAS”，“ASA”， “ AAS”“SSS”方法外，还有“HL”的方法，即有斜 边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等． 思考：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形是否相似呢？
随堂练习 2．已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，CD，C′D′分 别是两个三角形斜边上的高，且 CD∶C′D′=AC∶A′C′
请说明：△ABC∽△A′B′C′．
3.如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E是 BC上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC， 求证：(1) AE是∠CAB的平分线； (2) AB•AF＝AC•AE。
直角三角形相似的判定
A
A′
c b
B
a
∟
C
B′
C′
一、知识回顾
1、相似三角形的判定定理： 定理1：三边对应成比例，两三角形相似。
AB BC CA △ABC∽△A'B'C' B' A' B' B' C' C' A'
BC AB A' B ' B ' C '
A'
C'
定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 △ABC∽△A'B'C' A
基础巩固 1、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， 已知∠C=∠C′=90°。依据下列各组条件 判定这两个三角形是不是相似，并说明为 什么。 1、∠A=25°，∠B′=65°。 2、AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8。 3、AB=10，AC=8，A′B′=15， B′C′=9。
2、判断题
一、探究新知
已知：如图所示，Rt⊿ABC与Rt⊿A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°， 求证： Rt⊿ABC∽Rt⊿A′B′C′
A
A'ຫໍສະໝຸດ BCB'
C'
证明：
∵
∴△ABC∽△A′B′C′
(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)．
三、■判定两个直角三角形相似 的判定定理： 如果一个直角三角形的斜边和一 条直角边与另一个直角三角形的斜 边和一条直角边对应成比例，那么 这两个直角三角形相似． 说明：该定理在证明过程中用到了 勾股定理和有关比例的性质。
C E F A D B
直角三角形相似判定方法
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个 直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么 这两个直角三角形相似。
用数学符号表示：
在Rt⊿ABC与Rt⊿A′B′C′中 ∵∠C=∠C′=90°， AB AC ' ' ' ' AB AC
∴Rt⊿ABC∽Rt⊿A′B′C′
图3-22
C
a A b B
D
变式：(1)如果要求△ABC∽△BDC，是否可 确定边BD与a、b之间的关系式呢？ 此时注意应有AB与BD，AC与BC分别成对应 边．
C a A b
(2)如果只要求△ABC与△CDB两个三角形相似， 并不指明对应关系呢？
B
D
随堂练习
1、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°。要使Rt△ABC∽ Rt△A′B′C′，应加什么条件？ 55° 1、∠A=35° ，∠B′=________。 12 2、AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′=___。 3 ，A′B′=10， A′C′=6。 3、AB=5，AC=___ 4、AB=10，BC=6， A′B′=5， A′C′=______. 4 3a 5、AC：AB=1：3， A′C′=a, A′B′=_____
一直角三角形的三边分别为3，4， 5，另一直角三角形的两边分别为6， 8，则这两个直角三角形相似。
（ ×）
例1、 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90° ，AC=a，BC=b，当BD与a，b之间满足怎 样的关系式时，△ABC∽△CDB？
∠B= ∠两角对应相等，两三角形相似。 B' 定理3： ∠A= ∠A' ∠B= ∠B' △ABC∽△A'B'C'
B
C
一、知识回顾
2．判定两个直角三角形全等的方法
有哪些？
▲判定直角三角形全等除“SAS”，“ASA”， “ AAS”“SSS”方法外，还有“HL”的方法，即有斜 边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等． 思考：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形是否相似呢？
随堂练习 2．已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，CD，C′D′分 别是两个三角形斜边上的高，且 CD∶C′D′=AC∶A′C′
请说明：△ABC∽△A′B′C′．
3.如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E是 BC上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC， 求证：(1) AE是∠CAB的平分线； (2) AB•AF＝AC•AE。
直角三角形相似的判定
A
A′
c b
B
a
∟
C
B′
C′
一、知识回顾
1、相似三角形的判定定理： 定理1：三边对应成比例，两三角形相似。
AB BC CA △ABC∽△A'B'C' B' A' B' B' C' C' A'
BC AB A' B ' B ' C '
A'
C'
定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 △ABC∽△A'B'C' A
基础巩固 1、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， 已知∠C=∠C′=90°。依据下列各组条件 判定这两个三角形是不是相似，并说明为 什么。 1、∠A=25°，∠B′=65°。 2、AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8。 3、AB=10，AC=8，A′B′=15， B′C′=9。
2、判断题
一、探究新知
已知：如图所示，Rt⊿ABC与Rt⊿A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°， 求证： Rt⊿ABC∽Rt⊿A′B′C′
A
A'ຫໍສະໝຸດ BCB'
C'
证明：
∵
∴△ABC∽△A′B′C′
(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)．
三、■判定两个直角三角形相似 的判定定理： 如果一个直角三角形的斜边和一 条直角边与另一个直角三角形的斜 边和一条直角边对应成比例，那么 这两个直角三角形相似． 说明：该定理在证明过程中用到了 勾股定理和有关比例的性质。
C E F A D B
直角三角形相似判定方法
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个 直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么 这两个直角三角形相似。
用数学符号表示：
在Rt⊿ABC与Rt⊿A′B′C′中 ∵∠C=∠C′=90°， AB AC ' ' ' ' AB AC
∴Rt⊿ABC∽Rt⊿A′B′C′
图3-22
C
a A b B
D
变式：(1)如果要求△ABC∽△BDC，是否可 确定边BD与a、b之间的关系式呢？ 此时注意应有AB与BD，AC与BC分别成对应 边．
C a A b
(2)如果只要求△ABC与△CDB两个三角形相似， 并不指明对应关系呢？
B
D
随堂练习
1、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°。要使Rt△ABC∽ Rt△A′B′C′，应加什么条件？ 55° 1、∠A=35° ，∠B′=________。 12 2、AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′=___。 3 ，A′B′=10， A′C′=6。 3、AB=5，AC=___ 4、AB=10，BC=6， A′B′=5， A′C′=______. 4 3a 5、AC：AB=1：3， A′C′=a, A′B′=_____