高等数学泰勒级数
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f ( x ) a 0 a 1 ( x x0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a 3 ( x x 0 ) 3 a n ( x x0 ) n a n 1 ( x x0 ) n 1
求各阶导数:
x ( x0 R, x0 R)
f ( x) a1 2a2 ( x x0 ) 3a3 ( x x0 )2 nan ( x x0 ) n1
f ( x) 2a 2
3! a 3 ( x x0 ) n( n 1)an ( x x0 ) n 2
n(n 1)(x x0 )
(k 0 , 1, 2 ,)
n 1 1 2n 1 3 1 5 1 x 3! x 5! x (1) ( 2n 1)! x 得级数:
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin( (n 1) ) 2
(n 1)!
x
n 1
n
函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求 和 和函数
展 开
问题： 1. 在什么条件下 f ( x) 在某个区间上能展开成 幂级数
即 f ( x ) an ( x x0 ) ?
n n 0
2. 若能展开 , 该如何展开? 即a ? n
设 f ( x) 在点 x x0 处有任意阶导数 ,且
( x0 ) n ( x x ) 2.写出幂级数 ，并求其收敛域 D. 0 n! n 0 3. 考察 lim Rn ( x ) 0 在 D 上是否成立。
x
f
( n)
如果是,则 f(x)在 D上可展开成泰勒级数
n 0
f
( n)
( x0 ) ( x x0 )n ( x D ) n!
1 x 3 1 x 5 (1) n 1 1 x 2n 1 sin x x 3 ! 5! ( 2n 1) !
1 3 1 5 1 n 1 2 n 1 sin x x x x (1) x 3! 5! (2n 1) ! 类似可推出: 1 2 1 4 n 1 1 2n cos x 1 x x (1) x 2! 4! ( 2n) !
f ( n ) ( x0 ) 其中 D 是幂级数 ( x x0 )n 的收敛域， n! n 0 f ( x0 ) Rn ( x ) f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) 1!
( n) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 ( x x0 ) ( x x0 ) n 2! n! f ( n1) ( ) ( x x0 )n1 ( x0 , x )
百度文库
例. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f ( n) ( x) e x , f ( n) (0) 1 (n 0 ,1,), 故得级数 1 n 1 2 1 3 1 x x 3! x x n! 2! 1 1 R lim 其收敛半径为 n n ! ( n 1) ! 对任何有限数 x , 其余项满足
定理1 若 f ( x ) 能展成幂级数
n a ( x x ) 的必要条件是 n 0 n 0
f ( x )在0处有任意阶导数且 an
f
n
x0
n !
n 0,1, 2,
注意：若函数能展开成幂级数，则其系数唯一。
定理2 ( n) f ( x0 ) n 函数 f ( x ) 能展开成幂级数 ( x x0 ) 的充要条件是 n! n 0 lim Rn ( x ) 0 , x D n
(n 1)!
称为n阶余项.
微分型余项
关于余项
拉格朗日型余项
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n1 ( x0 , x ) ( n 1)!
1 Rn ( x ) f ( n1) ( x0 ( x x0 ))( x x0 )n1 (0 1) (n 1)!
柯西型余项
1 ( n1) Rn ( x ) f ( x0 ( x x0 ))(1 )n ( x x0 )n1 (0 1) n!
函数 f(x) 展开成幂级数的具体步骤：
1. 求出 x x0 处的函数值及各阶导数值
( n) , , , f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) , f ( x0 ), ；
f ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) f ( x) 0 0 0 0 2! f ( n ) ( x0 ) n f ( x ) 的泰勒展开式 ( x x0 ) ] n! n 0 f (0) 2 f ( x ) f (0) f (0) x x 2! f ( n ) (0) n x f ( x) 的麦克劳林展开式 n ! n 0
n1
n ! an f ( n) ( x)
(n 1)!an1 ( x x0 )n2
上列各式子中令 x x0 得：
f ( x0 )
a0 , f ( x0 ) a1 ,
f ( x0 ) 2a2 ,
f ( n) ( x0 ) n! an
e n n 1 x x e (n 1)! ( 在0与x 之间) 1 2 1 3 1 n x 故 e 1 x x x x , 2! 3! n!
例. 将
解: f
(n)
展开成 x 的幂级数.
( x)
f
(n)
0, n 2k (0) (1) k , n 2 k 1
求各阶导数:
x ( x0 R, x0 R)
f ( x) a1 2a2 ( x x0 ) 3a3 ( x x0 )2 nan ( x x0 ) n1
f ( x) 2a 2
3! a 3 ( x x0 ) n( n 1)an ( x x0 ) n 2
n(n 1)(x x0 )
(k 0 , 1, 2 ,)
n 1 1 2n 1 3 1 5 1 x 3! x 5! x (1) ( 2n 1)! x 得级数:
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin( (n 1) ) 2
(n 1)!
x
n 1
n
函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求 和 和函数
展 开
问题： 1. 在什么条件下 f ( x) 在某个区间上能展开成 幂级数
即 f ( x ) an ( x x0 ) ?
n n 0
2. 若能展开 , 该如何展开? 即a ? n
设 f ( x) 在点 x x0 处有任意阶导数 ,且
( x0 ) n ( x x ) 2.写出幂级数 ，并求其收敛域 D. 0 n! n 0 3. 考察 lim Rn ( x ) 0 在 D 上是否成立。
x
f
( n)
如果是,则 f(x)在 D上可展开成泰勒级数
n 0
f
( n)
( x0 ) ( x x0 )n ( x D ) n!
1 x 3 1 x 5 (1) n 1 1 x 2n 1 sin x x 3 ! 5! ( 2n 1) !
1 3 1 5 1 n 1 2 n 1 sin x x x x (1) x 3! 5! (2n 1) ! 类似可推出: 1 2 1 4 n 1 1 2n cos x 1 x x (1) x 2! 4! ( 2n) !
f ( n ) ( x0 ) 其中 D 是幂级数 ( x x0 )n 的收敛域， n! n 0 f ( x0 ) Rn ( x ) f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) 1!
( n) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 ( x x0 ) ( x x0 ) n 2! n! f ( n1) ( ) ( x x0 )n1 ( x0 , x )
百度文库
例. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f ( n) ( x) e x , f ( n) (0) 1 (n 0 ,1,), 故得级数 1 n 1 2 1 3 1 x x 3! x x n! 2! 1 1 R lim 其收敛半径为 n n ! ( n 1) ! 对任何有限数 x , 其余项满足
定理1 若 f ( x ) 能展成幂级数
n a ( x x ) 的必要条件是 n 0 n 0
f ( x )在0处有任意阶导数且 an
f
n
x0
n !
n 0,1, 2,
注意：若函数能展开成幂级数，则其系数唯一。
定理2 ( n) f ( x0 ) n 函数 f ( x ) 能展开成幂级数 ( x x0 ) 的充要条件是 n! n 0 lim Rn ( x ) 0 , x D n
(n 1)!
称为n阶余项.
微分型余项
关于余项
拉格朗日型余项
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n1 ( x0 , x ) ( n 1)!
1 Rn ( x ) f ( n1) ( x0 ( x x0 ))( x x0 )n1 (0 1) (n 1)!
柯西型余项
1 ( n1) Rn ( x ) f ( x0 ( x x0 ))(1 )n ( x x0 )n1 (0 1) n!
函数 f(x) 展开成幂级数的具体步骤：
1. 求出 x x0 处的函数值及各阶导数值
( n) , , , f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) , f ( x0 ), ；
f ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) f ( x) 0 0 0 0 2! f ( n ) ( x0 ) n f ( x ) 的泰勒展开式 ( x x0 ) ] n! n 0 f (0) 2 f ( x ) f (0) f (0) x x 2! f ( n ) (0) n x f ( x) 的麦克劳林展开式 n ! n 0
n1
n ! an f ( n) ( x)
(n 1)!an1 ( x x0 )n2
上列各式子中令 x x0 得：
f ( x0 )
a0 , f ( x0 ) a1 ,
f ( x0 ) 2a2 ,
f ( n) ( x0 ) n! an
e n n 1 x x e (n 1)! ( 在0与x 之间) 1 2 1 3 1 n x 故 e 1 x x x x , 2! 3! n!
例. 将
解: f
(n)
展开成 x 的幂级数.
( x)
f
(n)
0, n 2k (0) (1) k , n 2 k 1