12随机过程一般概念

12 随机过程概念及统计特性
一、随机过程的定义 二、随机过程的分类 三、随机过程的概率分布 四、二维随机过程
随机过程
引言
现实世界中的许多现象是随时间的进展而变化与 发展的，这些现象通常称为过程。可分为两类： (1)确定性的变化过程：例如 (2)不确定的变化过程：例如
如果质点在一个随机的力（它由各种随机因素形成） 的作用下，那么质点运动的位置也是随机的。
称为{(X(t),Y(t)),tT}的互协方差函数.
显然
CXY (s,t) RXY (s,t) X (s)Y (t)
若对于任意的s,t∈T,有CXY(s,t)=0, 称{X(t)},{Y(t)}不相关. 若{X(t)},{Y(t)}相互独立，且二阶矩存在，
则{X(t)},{Y(t)}不相关.
例9: 设有两个随机过程X(t)=Ucost+Vsint和 Y(t)=Usint +Vcost，其中U和V独
(t)
E[ X
2
(t)]
为{X(t),tT}的均方值函数.
③
2 X
(t)
DX
(t)
D[ X (t)]
为{X(t),tT}的方差函数.
④ C X (s, t) Cov(X (s), X (t)) 为{X(t),tT}的协方差函数.
E[X (s) X (s)][X (t) X (t)]
⑤ Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]为{X(t),tT}的自相关函数，
定义2：设E是一随机实验，样本空间为Ω={}，参数
T(-,+),如果对任意t T ，有一定义在Ω上的随机变量
X(,t)与之对应,则称{X(,t),t T}为随机过程，简记为
X(t),t T 或X(t),也可记为X(t).
注释：(1) 随机过程X(t),t T是定义在Ω×T上的
二元函数，因此可以从两个角度去理解, 因而有如上的 两个定义。
a 2 2 0
cos
s
cos
t
1
2
d
2 X
(t)
RX
(t, t )
2 X
(t)
a2 2
.
a 2 cos t s
2
例8: 设随机过程X(t)=Y+Zt, tT=(-∞,+∞),其中
Y，Z是相互独立的服从N(0,1)的随机变量，求
{X(t),-∞<t<+∞}的一，二维概率密度。
解: tT，由正态分布的性质知X(t)服从正态分布: E[X(t)]=E(Y)+tE(Z)=0, D[X(t)]=D(Y)+t 2 D(Z)=1+t 2
(1) 互相关函数: 称 RXY(s,t)=E[X(s)Y(t)] 为{(X(t),Y(t)),tT}的互相关函数.
若对于任意的s,t∈T, RXY(s,t)=0,称{X(t)}与{Y(t)}正交.
(2)互协方差函数： CXY (s,t) E[ X (s) X (s)][Y (t) Y (t)]
在理论分析往往用随机变量族的描述方式， 在实际测量和处理中往往采用样本函数族的描述方式。
(2)通常将随机过程X(t),t T 解释为一个物理系统， X(t)表示系统在时刻t所处的状态,X(t)的所有可能状态所构
成的集合称为状态空间，记为I，对于给定的 t0 T，及x I,X(t0)=x 说成是在时刻t0，系统处于状态x.
立,E(U)=E(V)=0,E(U2)=E(V2)=C2.
求互相关函数RXY(s，t)的表达式.
解:
RXY (s,t) E[X (s)Y (t)]
n
1
称为{X(t),tT}的有限维分布函数族。
当n=1时,得到一维分布函数F(x;t)=P{X(t)≤x}, 一维分布函数的全体{F(x;t), t∈T}称为一维分布函数族.
2．随机过程的数字特征
① 函数 X (t) E[ X (t)], t T 为{X(t),tT}的均值函数.
②
2 X
相位正弦波的均值函数，方差函数和自相关函数.
解:
Θ的概率密度为
f
(
)
1
2
(0,2 )
于是
0 (0,2 )
X (t) E[X (t)] E[a cos( t )]
2
a cos( t )
1
d
0
0
2
RX (s, t) E[ X (s)X (t)] E [a 2 cos( s )cos( t )]
=P{X(t1)x1,…, X(tn) xn；Y(t1) y1,…,Y(tm) ym} 为{(X(t),Y(t)),tT}的n+m维分布函数，
类似的可定义有限维分布函数族。
（2）若对于任意的正整数n和m，以及任意的t1,t2,…,tn； t1, t2,…,tmT，任意的x1,x2,…,xn；y1,y2,…,ym R,
例2 测量运动目标的距离. 测量存在随机误差.
以 (t) 表示在时刻 t 的测量误差 , 它是一个随机变量 . 当目标随时间t 按一定规律运动时, 测量误差 (t) 也
随时间t 而变化. (t) 是依赖于时间 t 的一族随机变量 . { (t), t 0} 是一个随机过程 . 状态空间 : (,).
因为Y与Z相互独立,于是
cos s cos t E(Y 2 ) sin s sin t E(Z 2 ) 2 cos (t s)
例7: 考虑随机过程 X(t)=acos(ωt+Θ),t(-∞,+∞)
其中a和ω是常数，Θ是在（0，2π）上服从均匀分布的 随机变量，通常称此随机过程为随机相位正弦波，求随机
(2).离散型随机过程:T是连续集，且tT,X(t)是离散型随机变 量，则称过程{X(t),tT}为离散型随机过程。
(3).连续型随机序列: T是可列集,且tT,X(t)是连续型随机变 量，则称过程{X(t),tT}为连续型随机序列.
(4).离散型随机序列:T是可列集, 且tT, X(t)为离散 型随机变量, 则称过程{X(t),tT}为离散型随机序列。 通常T取为T ={0,1,2…}或T ={0, ± 1，±2…},此 时随机序列常记成{Xn,n=0,1,…}或 {Xn,n0}。
一次测得的 值是随机变量.
状态空间 : (, ).
电压的变化过程 {V (t), t 0}是一个随机过程 .
二、随机过程的分类
1．按状态和时间是可列集还是连续集分类：
(1). 连续型随机过程:T是连续集,且tT,X(t)是连续型随机变 量,则称过程{X(t),tT}为连续型随机过程.
我们称这种随时间的进展而变化与发展的随机现象为随 机过程。
一、随机过程的定义
1.定义1 设E是一随机实验,样本空间为Ω={}，参数
T(-,+),如果对每个 ,总有一个确定的时间函数X(,t) 与之对应,这样对于所有的 ,就得到一族时间t的函数,我们 称此时间t的函数族为随机过程,而族中每一个函数称为这个随机 过程的样本函数。
简称相关函数
3.诸数字特征的关系：
2 X
(t
)
C
X
(t,
t
)
2 X
(t
)
2 X
(t
)
2 X
(t)
RX
(t, t),
C X (s, t) RX (s, t) X (s) X (t)
例6: 设随机过程 X(t)=Ycosωt+Zsinωt,t≥0,其中
Y,Z是相互独立的随机变量，且E(Y)=E(Z)=0,
F{x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn } P{X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn}
为随机过程{X(t),tT}的n维分布函数.
变化n及t1,t2，…，tn所得到的有限维分布函数的
全体
F
F{x1,
x2 , ,
xn ; t1, t2 , , tn }, t1, t2 , , tn T ,
例3 某城市的120急救电话台接收呼叫. X (t) :时间间隔 (0,t]内接收到的呼叫次数 . { X (t),t 0} 是一个随机过程 . 状态空间是 {0, 1, 2, 3,}.
例4 抛掷一颗骰子的试验. (1) X n : 第 n 次 ( n 1) 抛掷的点数 .
{X n , n 1} 是一个随机过程 . 伯努利过程或伯努利随机序列 (2) X n : 前 n 次 ( n 1) 抛掷中出现的最大点数 . {X n , n 1}也是一个随机过程 .
(3)从定义2的角度上看，随机过程是有限维随机变量的推广.
（4）随机过程{X(t),t∈T}中参数t通常解释为时间集，便 于理解，符合实际。但参数t可以表示为其它的量，例如序 号，距离等等.
2.随机过程的例
例1:(分枝过程)两个个体（第0代）可能生产 0,1,2…… 个子女形成第一代，每一个子女再生子女，他们合在一 起形成第二代，等等，假定第n代的个体数目为Xn，则 {Xn, n=0,1,2….}是随机过程。
状态空间都是 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
例5:(热噪声电压)电子元件或器件由于内部微观粒子
（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压， 在无线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内的热噪声 电压要对信号产生持续的干扰，为要消除这种干扰（假设没 有其他干扰因素），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过 程，现以电阻的热噪声电压为例说明这种变化过程的描述方 法，我们通过某种装置对电阻两端的热噪声电压进行长时间 的测量，并把结果记录下来，作为一次试验结果，便得到一 个电压-时间函数（即电压关于时间t的函数）V1(t),如图.
如何描述这样的变化过程： 1. 如果对其变化过程的全过程做一次观察,得到一
个位置与时间关系的函数x1(t ),若再次观察，又 得到函数x2(t ),… ,因而得到一族函数.
2. 如果在时刻t观察质点的位置x(t ),则x(t )是一个随机 变量,这样对于每个时刻t便得到一个随机变量X(t ),于 是我们就得到一族随机变量{X(t),t≥0},（最初始时刻 为t=0）,它描述了此随机的运动过程.
D(Y)=D(Z)= 2，求{X(t),t≥0}均值函数 x(t)和自
相关函数Rx(s,t)。
解: x(t)=E[X(t)]=E[Ycosωt+Zsinωt] =cosωtE(Y)+sinωt E(Z)=0,
RX (s, t) E[X (s)X (t)]
E[Y cos s Z sin s][Y cos t Z sin t]
X s,t
1 st 所以二维概率密度为
1 s2 1 t2
f (x1, x2;t1, t2 )
2
1 (1 t12 )(1 t22 )
1 2
其中=x(t1,
exp
t2).
1
2(1
2
)
1
x12 t12
2
(1
x1x2 t12 )(1
t22 )
x22 1 t22
四、二维随机过程
所以一维概率密度为
f (x, t)
1
x2
e 2(1t 2 )
2 (1 t 2 )
又由正态分布的性质知，对于任意 s,t∈T， (X(s),X(t))服从二维正态分布而
E[X(s)]= E[X(t)]=0；D[X(s)]=1+s2 ,D[X(t)]=1+t2
C X (s, t) RX (s, t) E[Y ZsY Zt ] 1 s t
1．定义： X(t)、Y(t)为定义在同一样本空间Ω和同一参数
集T上的随机过程，对于任意tT，若(X(t),Y(t))是二维随机 变量，则称{(X(t),Y(t)),tT}为二维随机过程。
2．有限维分布函数和独立性
(1){(X(t),Y(t)),tT}为二维随机过程,对于任意的正整数n和m， 以及任意的t1,t2,…,tn；t1, t2,…,tmT ，称n+m元函数 F(x1,x2,…,xn；y1,y2,…,ym；t1,t2,…,tn；t1,t2,…,tm)
2．按分布特性分类：
依照过程在不同时刻状态的统计依赖关系分类。 例如：独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。
三、随机过程的概率分布
1．n维分布函数：
设{X(t),tT}是随机过程，对于任意整数n≥1及T中 任意n个不同的参数t1,t2，…，tn，称随机向量 （X(t1),X(t2),…,X(tn)）的分布函数
有
F(x1,x2,…,xn；y1,y2,…,ym；t1,t2,…,tn；t1,t2,…,tm) =FX{X(t1)x1,…, X(tn) xn} FY{Y(t1) y1,…,Y(tm) ym}
称{X(t)}与{Y(t)}相互独立，其中FX，FY分别为{X(t)}， {Y(t)}的有限维分布函数.
3．二维随机过程的数字特征