微分中值定理(4)

第四章微分中值定理

4.1 微分中值定理

微分中值定理在微积分理论中占有重要地位，它建立了函数与导数之间的联系，提供了导数应用的基础理论依据，本节介绍罗尔（Rolle）定理以及拉格朗日（Lagrange）中值定理。

一、罗尔定理

我们已经知道，有界闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值，但是最大值与最小值不一定是极值，例如当最大值和最小值仅在区间端点处取得时就不是极值，而如果最大值或最小值在区间内部取得时，则一定为极值，因此，如果有界闭区间上的连续函数在两个端点处的函数值相等，那么它的最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而一定是极值，如果函数可导的话，相应的极值点一定是驻点，即该点处导数为0，这样，我们自然得到下面的罗尔定理。

定理4.1（罗尔定理）设函数f（x）满足：

（1）在闭区间[a、b]上连续；

（2）在开区间（a、b）内可导；

（3）f（a）=f（b）,

则至少存在一点

罗尔定理也有十分明显的几何意义，

设曲线弧（如图4.1所示）的方程为y=f（x）（a≤x≤b），罗尔定理的条件在几何上表示：是一条连续的曲线弧，除了端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两个端点A 和B的纵坐标相同。定理结论表述了这样的几何事实：曲线弧上至少有一点C，在这点处曲线的切线是水平的，即罗尔定理的几何意义是：当曲线弧在[a、b]上为连续弧段，在（a、b）的曲线弧上每一点均有不垂直于x轴的切线，并且曲线弧两个端点的纵坐标相同，那么曲线弧上至少有一点的切线平行于x轴（如图4.1所示）

有必要指出，罗尔定理中的三个条件缺一不可，条件（1）保证了函数f（x）的最大值与最小值的存在性；条件（3）保证了最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而是极值；条件（2）保证了该极值点处函数的可导性，因此，如果缺少这三个条件中的任何一个定理都将不成立，读者不妨自己举些反例加以验证。

例1 在区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的函数是（）

[答疑编号10040101：针对该题提问]

解：因为在x=0处没定义，所以不连续，故在区间[-1，1]上不满足罗尔定理的条件。

虽然函数y=（x+1）2和y=x在[-1，1]上连续、可导，但是这两个函数在端点-1和1处的函数值不相等，所以满足罗尔定理的条件。

函数虽然在闭区间[-1，1]上连续，在开区间（-1，1）内可导，并且y（-1）=y（1）=2，所以满足罗尔定理的条件。

综上所述，选择（D）

例2 验证函数y=lnsinx在闭区间上满足罗尔定理的条件，并求出使罗尔定理成立的。

[答疑编号10040102：针对该题提问]

解：函数y=lnsinx是初等函数，而在上所以函数y=lnsinx在

上有定义，因而连续，且在内可导。其导数为

因此，函数上满足罗尔定理的条件，从方程

不难解出使罗尔定理成立的只有一个，即

例3 说明下列函数在所在的区间上是否满足罗尔定理的三个条件，如果满足，请求中值C。

[答疑编号10040103：针对该题提问]

[答疑编号10040104：针对该题提问]

[答疑编号10040105：针对该题提问]

[答疑编号10040106：针对该题提问]

在[-1，1]上有意义，∴f（x）在[-1，1]上连续

内不是处处可导，不满足罗定理第二个条件。

∴f（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导。

∵f（1）=1，f（2）=4，∴f（1）≠f（2）

∴f（x）=x2在[1，2]上不满足罗尔定理的第三个条件。

∵f（0）=2，f（2）=2 ∴f（0）=f（2）

上满足罗尔定理三个条件

例4 验证：若f（x）=x（x-1）（x-2）

则方程f’（x）=0在（0，1）、（1，2）内各有一实根。

[答疑编号10040107：针对该题提问]

证：（1）f（x）处处可导，处处连续。

∵f（0）=f（1）=0

∴在（0，1）内至少存在实数0

（2）∵f（1）=f（x）=0

即x=C2是方程f’（x）=0的实根。

（3）因为f’（x）=0是一元二次方程，只有二个实根，所以方程f’（x）=0在（0，1），（1，2）内各有一实根。

例5 证明方程4x3-4x+1=0在（0，1）内至少有一实根。

[答疑编号10040108：针对该题提问]

证：讨论函数f（x）=x4-2x2+x

∴f’（x）=4x3-4x+1,f（0）=f（1）=0,f（0）=f（1）=0,很明显f（x），在[0，1]上满足罗尔定理三个条件，所以在（0，1）内至少有0

故方程4x3-4x+1=0在（0，1）内至少有一实根。

例6 若f（x）在[0，b]上连续，在（0,b）内可导，且f（b）=0，证明在（0,b）内有0

[答疑编号10040109：针对该题提问]

证：令g（x）=xf（x）

∵g（0）=0,g（b）=bf（b）=0,且g（x）在 [0,b]上连续，在（0，b）内可导。

∴g（x）满足罗尔定理的三个条件

∴在（0，b）内存在0

二、拉格朗日中值定理

定理4.2（拉格朗日中值定理）设函数f（x）满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续

（2）在开区间（a,b）可导，

关于拉格朗日中值定理的证明我们不作要求，感兴趣的同学可以阅读其他的高等数学教材

下面用拉格朗日中值定理得到在积分学中有用的推论：

推论1，如果f（x）在（a,b）内可导，并且在（a,b）内恒有

证明在（a,b）内任意取定一点c，对任意的由拉格朗日中值定理可得

其中位于c与x之间，故对任意的均有f（x）=f（c）

推论得证：

推论2如果f（x）和g（x）在（a,b）内可导，并且（a,b）内恒有那么

其中C为某个常数。

事实上，由已知条件及导数运算可知

故由推论1知f（x）-g（x）=C，即f（x）=g（x）+C