截长补短法证明线段的和差问题
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“截长补短法”证明线段的和差问题典例分析 河大附中 桑静华
线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条(或几条)线段转化到同一直线上.实际上是通过翻折构造全等三角形,目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起.在无法进行直接证明的情形下,利用“截长补短”作辅助线的方法常可使思路豁然开朗,问题迎刃而解。 例1、如图,已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别 平分∠CAB 和∠DBA ,CD 过点E , 则AB 与AC+BD•相等吗?请说明理由.
分析:证明一条线段等于另两条线段之和(差)常见的方法是:
(1)在长线段上截取一条线段等于短线段,再证明余下的线段等于另一条短 线段,这种方法叫“截长法”
(2)在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段,再证明它们与长线段相等,这种方法叫“补短法”.
34
D
C
A
B
6
5(1)
F E
1
2
34
D
C
A
6
5
(2)
E
F
12
证法一:如图(1)在AB 上截取AF=AC ,连结EF . 在△ACE 和△AFE 中
D
C
A
B
E
12AC AF AE AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACE ≌△AFE (SAS )
∵
,∴
,又
,∴∠6=∠D
在△EFB 和△BDE 中
634D BE BE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EFB ≌△EDB (AAS ) ∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 证法二:如图(2),延长BE ,与AC 的延长线相交于点F
∵ ∴4∠=∠F ,又∵43∠=∠ ∴∠F=∠3 在△AEF 和△AEB 中
312F AE AE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AEF ≌△AEB (AAS ), ∴AB=AF ,BE=FE 在△BED 和△FEC 中
564BE FE F ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△BED ≌△FEC (ASA ) ∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD . 例2、如图,在△ABC 中,∠B =2∠C ,
∠BAC 的平分线交BC 于D ,求证:AB +BD =AC . 分析1: 因为∠B =2∠C ,所以AC >AB , 可以在AC 上取一点E ,使得AB =AE ,
构造△ABD ≌△AED ,把AB 边转移到AE 上, BD 转移到DE 上,要证AB +BD =AC . 即可转化为证AE +BD =AE +EC , 即证明BD =EC .
A
B
C
D
证明:在AC 上取一点E ,使AB =AE ,连结DE .
在△ABD 和△AED 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AD AD DAE BAD AE AB ∴△ABD ≌△AED (SAS ). ∴ BD =DE ,∠B =∠AED .
又∠AED =∠EDC +∠C =∠B =2∠C ,
∴ ∠EDC =∠C .
∴ ED =EC . ∴ AB +BD =AC .
分析2: 因为∠B =2∠C ,所以AB <AC ,
可以在AB 的延长线上取一点E ,使得AE =AC , 构造△AED ≌△ACD ,把AC 边转移到AE 上, DC 转移到DE 上,要证AB +BD =AC
. 即可转化为证AB +BD =AB +BE , 即证明BD =BE . 证明:在AB 的延长线上取一点E , 使AC =AE ,连结DE . 在△AED 和△ACD 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AD AD DAC BAD AC AE ∴ △AED ≌△ACD (SAS ).∴∠C =∠E . 又∠ABC =∠E +∠BDE =2∠C =2∠BDE , ∴ ∠E =∠BDE .∴ BE =BD . ∴ AB +BD =A E =AC . 分析3:若延长DB 到点E , 使得AB =BE ,有AB +BD =ED , 只要证出ED =AC 即可. 证明:延长DB 到点E , 使AB =BE ,连结AE ,
则有∠EAB =∠E ,
∠ABC =∠E +∠EAB =2∠E .
又∠ABC =2∠C , ∴ ∠E =∠C . ∴ AE =AC .
又∠EAD =∠EAB +∠BAD =∠E +∠DAC =∠C + ∠DAC =∠ADE ,
A
B C
D E
A
B C
D E
A B C
D E
∴AE=DE.
∴AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC.
学以致用:
1、如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC. 求证:∠BAD+∠BCD=180°
A
B C
D