第十二章-结构的极限荷载

解：此梁出现两个塑性铰即成为破坏 机构。除最大负弯矩和最大正弯 矩所在的A、C截面外，截面突 变处D右侧也可能出现塑性铰。
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
1、穷举法
机构1：设A、D处出现塑性铰
F
l
3
=
2M u
2
+
Mu
3
得 F = 21M u l
机构2：设A、C处出现塑性铰
极限荷载为
Fu
第一跨破坏：ql
=
ql
l 2
=
1.2M
u
+
Mu
2
q1
=
6.4 l2
Mu
§12-6 连续梁的极限荷载
第二跨破坏：
ql
q
1.5ql
θ Mu Δ θ
ql 2
=
ql 2
l 2
= 1.2Mu
+ 1.2M u
+
Mu
2
q2
=
17.6 l2
M
u
第三跨破坏：
ql
q
1.5ql
θ
θ 2MuΔ
3ql 2
=
3ql 2
3l 4
图(e)：荷载继续增加，整个截面的应力都达到了屈服极限σS， 弯矩达到了最大—极限弯矩Mu。此时，截面弯矩不再增 大，但弯曲变形可任意增长，相当于在该截面处出现了 一个铰—塑性铰。
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定梁的计算
由图(e)可推得 M u = SWS
WS—塑性截面系数，受压和受拉部分面积对等分截面轴的静矩之和。
当截面为bh的矩形时
WS
=
bh2 4
故
Mu
=
bh2 4
S
弹性截面系数为 W = bh2 6
屈服弯矩为
MS
=
bh2 6
S
M u = 1.5 MS
对矩形截面梁来说，按塑性计算比按 弹性计算截面的承载能力提高50%。
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定梁的计算
破坏机构 结构出现若干塑性铰而成为几何可变体系或瞬变体系。
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
按平衡条件作出此时的弯矩图，
如图e所示。
由图可得
Ful 4
−
Mu 2
= Mu
得极限荷载
Fu
=
6M u l
静力法求极限荷载—超静定梁 （1）使破坏机构中各塑性铰处的弯矩都等于极限弯矩； （2）按静力平衡条件作出弯矩图，即可确定极限荷载。
机动法求极限荷载—超静定梁
（1）设机构沿荷载正方向产生任意微小的虚位移如图d；
§12-1 概述
1、弹性分析方法
把结构当作理想弹性体，用容许应力法计算结构的强度。
其强度条件为
max
=
u
k
σmax—结构的实际最大应力；[σ]—材料的容许应力；
σu—材料的极限应力；
k—安全系数。
2、塑性分析方法 按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失 承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为
静力法：如图b，由∑MA=0，有
FRB
=
qul 2
−
Mu l
FSx
=
0，−
FRB
+
qu x
=
−( qul 2
−
Mu l
)
+
qu x
=
0
最大正弯矩为Mu，故有
qu (2x)2 8
=
Mu
求得极限荷载
得
qu
=
l(
Mu l−
x)
2
解得 x = 0.4142l
qu
=
11.66M u l2
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
可破坏荷载：满足机构条件和平衡条件的荷载，用F +表示。 （不一定满足内力局限条件）
可接受荷载：满足内力局限条件和平衡条件的荷载，用F -表示。 （不一定满足机构条件）
1、极小定理：极限荷载是所有可破坏荷载中的极小者。
2、极大定理：极限荷载是所有可接受荷载中的极大者。
3、惟一性定理：极限荷载只有一个确定值。若某荷载既是可破 坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载即为极限 荷载。
第三跨单独破坏时：
1.5q3l 4
1.5l
=
9q3l 2 16
=
2Mu
+ 1.8M u
q3
=
6.76M u l2
破坏荷载为：
qu
=
6.4M u l2
§12-6 连续梁的极限荷载
ql
q
1.5ql
l/2 l/2
l
0.75l 0.75l
ql
q
θ
θ
1.5ql
Mu Δ
解：机动法
给出各跨单独破坏时的虚位移图。由虚功方程 求出相应的破坏荷载。
选择机构2：求得相应的荷载 F = 7.5M u l
作弯矩图如图f。
所有截面的弯矩均未超过Mu。 此时的荷载为可接受荷载，极限荷
载为
Fu
=
7.5M u l
§12-6 连续梁的极限荷载
图a所示连续梁只可能出 现某一跨单独破坏的机构如图 b、c、d。
也可能由相邻各跨联合形 成破坏机构如图e。
图e中至少有一跨在中部出 现负弯矩的塑性铰，这是不可 能出现的。
（2）由虚功原理得
Fu
l
2
=
M u
+
Mu
2
得极限荷载
Fu
=
6M u l
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
例12-1 试求图a所示两端固定的等截面梁的极限荷载。
解：此梁出现三个塑性铰即进入极限状态。 塑性铰出现在最大负弯矩A、B截面及 最大正弯矩C截面。
静力法：作极限状态弯矩图如图b。 由平衡条件有
超静定梁：具有多余联系，只有出现足够多的塑性铰，才能 使其成为破坏机构。
图(a)所示等截面梁，梁在弹性阶 段的弯矩图如图b，截面A的弯矩最大。
荷载增大到一定值时，A先出现塑 性铰。如图c，A端弯矩为Mu，变成静 定的问题。此时梁未破坏，承载能力未 达到极限。
荷载继续增大，跨中截面C的弯矩 达到Mu，C截面变成塑性铰。如图d， 此时梁成为几何可变的机构，达到极限 状态。
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
1、穷举法：也称机构法或机动法。列举所有可能的破坏机构， 求出相应的荷载，取其最小者即为极限荷载。
2、试算法：任选一种破坏机构，求出相应荷载，并作弯矩图， 若满足内力局限条件，则该荷载即为极限荷载；如 不满足，则另选一机构再试算……，直至满足。
例12-3 试求图a所示变截面梁的极限荷载。
1.2Mu 8
1.2Mu
4
Mu
Mu
2Mu
§12-6 连续梁的极限荷载
9ql 2
ql 2
16
ql 2
1.2Mu 8
1.2Mu
4
2.4Mu
Mu
第一跨单独破坏时：
q1l
2
4
Mu = Mu
+ 0.6Mu
2qM1 =u
6.4M u l2
第二跨单独破坏时：
q2l 2 8
= Mu
+ 1.2M u
q2
=
17.6M u l2
结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只考虑荷载一 次加于结构，且各荷载按同一比例增加—比例加载。
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定梁的计算
图a所示梁的横截面有一对称轴，承受位于对称平面内的 竖向荷载作用。随荷载的增大，梁截面应力变化为
图(b)：荷载较小时，弹性阶段，截面应力σ<σS。
图(c)：荷载加大到一定值，最外边缘应力达到屈服极限σS，
F Fu K
F—结构实际承受的荷载；Fu—极限荷载； K—安全系数。
§12-1 概述
OA段：材料是理想弹性的，应力 与应变成正比。
AB段：材料是理想塑性的，应力不 变，应变可以任意增长。
CD段：应力减为零时，有残余应 变OD。
结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关 系作合理地简化。简化为理想弹塑性材料。如图所示。
例：图示各跨等截面连续梁，第一、二跨正极限弯矩为Mu，第
三跨正极限弯矩为2Mu，各跨负极限弯矩为正极限弯矩的1.2倍，
求qu。
ql
q
1.5ql
解：静力法
画出各跨单独 破坏时的极限 弯矩图。寻找 平衡关系求出 相应的破坏荷 载。
l/2 l/2
l
0.75l 0.75l
ql 2
9ql2 2.4Mu
16
ql 2
荷载参数F：所有荷载都包含的一个公共参数F。确定极限荷 载实际上就是确定极限状态时的荷载参数Fu。
结构处于极限状态时应同时满足： （1）机构条件。结构出现足够数目的塑性铰而成为机构。 （2）内力局限条件。任一截面的弯矩绝对值|M|≤ Mu。 （3）平衡条件。结构的整体或任一局部仍维持平衡。
§12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理
Fu ab l
=
M
u
+
M
u
得极限荷载
Fu
=
2l ab
Mu
机动法：作出机构的虚位移图如图c。
Fu a
=
M u
+
Mu
l b
+
Mu
a b
得极限荷载
Fu
=
2l ab
Mu
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
例12-2 试求图a所示等截面梁在均布荷载作用时的极限荷载qu。
解：此梁出现两个塑性铰即达到极限状态。 一个塑性铰在A处，另一个塑性铰在 最大弯矩即剪力为零处。
=
7.5M u l
F
2l 3
=
2M u
+
Mu
3
得 F = 7.5M u l
机构3：设D、C处出现塑性铰
F
l
3
=
M u
+
Mu
2
得 F = 9Mu
l
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
2、试算法
选择机构1：求得相应的荷载 F = 21M u l
作弯矩图如图e。
截面C的弯矩超过了Mu。此机构 不是极限状态。
机构1（图b）：横梁上出现3个塑性铰，
又称“梁机构”
2Fa = M u + 2M u 2 + M u
F =3Mu a
§12-7 刚架的极限荷载
机构2（图c）：4个塑性铰出现在A、C、 E、B处，整个刚架侧移， 又称“侧移机构”。
F 1.5a = 4M uF = 2.67 M u a
机构3（图d）：塑性铰出现在A、D、 E、 B处，横梁转折，刚架亦 侧移，又称“联合机构”。
连续梁的极限荷载计算：只需计算各跨单独破坏时的荷载，取 其最小者即为极限荷载。
§12-6 连续梁的极限荷载
例12-4 试求图a所示连续梁的极限荷载。各跨分别为等截面的， 其极限弯矩如图所示。 解：第1跨机构如图b。
0.8Fa = M u 2 + M u
F = 3.75M u a
第2跨机构如图c。
= 1.2Mu
+
2.4M u
+
2Mu
2
q3
=
7.6M u l2
8 9
=
6.756
Mu l2
§12-7 刚架的极限荷载
刚架极限荷载计算时忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
穷举法
图a所示刚架，各杆分别为等截面 杆，由弯矩图的形状可知，塑性铰只可 能在A、B、C（下侧）、E（下侧）、 D五个截面出现。
此刚架为3次超静定，只要出现4个 塑性铰或一直杆上出现3个塑性铰即成 为破坏机构。可能的机构形式有
静定结构出现一个塑性铰即成为 破坏机构。对等截面梁，塑性铰出现 在|M|max处。
图a所示截面简支梁，跨中截面弯 矩最大，该处出现塑性铰时梁成为机 构如图b。同时该截面弯矩达到极限弯 矩Mu。 由平衡条件作M图如c。
由
Ful 4
=
Mu
求得极限荷载为
Fu
=
4M u l
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
若将跨间塑性铰设在中截面，则有：
ql 2 8
=
Mu
+
Mu 2
Mu
q
qu
=
12M l2
u
A
Mu C
B
l
误差为3%。因此均布荷载作用下，若杆件两端弯矩在基线 同侧且悬殊不太大时，可将跨间塑性铰取在中点。
§12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理
比例加载：作用于结构上的各个荷载增加时，始终保持它们 之间原有的固定比例关系，且不出现卸载现象。
F a
2a 2
a
=
M u
+ Mu
2
+ M u
F = 4Mu a
§12-6 连续梁的极限荷载
第3跨机构如图d。
Fa + F 2a = M u + 3M u 3
F = 3.33M u a
比较以上结果，按极小定理，第3跨首先破坏。极限 荷载为
F = 3.33M u a
§12-6 连续梁的极限荷载
第十二章 结构的极限荷载
§12-1 概述 §12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定梁的计算 §12-3 单跨静定梁的极限荷载 §12-4 比例加载时有关极限荷载的几个定理 §12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法 §12-6 连续梁的极限荷载 §12-7 刚架的极限荷载 §12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念
F = 16 M u a
经分析，无其他可能的机构，按极小值定理取上述F中
的最小者为极限荷载
Fu
=
2.29
Mu a
实际的破坏机构为机构3。
§12-7 刚架的极限荷载
试算法
选择机构2（图c）
求相应的荷载F=2.67Mu/a。 作弯矩图如图a。
D点处弯矩为
MD
=
Mu
− Mu 2
+
2F 2a 4
=
2.67M u
2M u
不满足内力局限条件，荷载 是不可承受的。
§12-7 刚架的极限荷载
F 1.5a + 2Fa = M u + 2M u 2 + 2M u 2 + M u F = 2.29 M u a
§12-7 刚架的极限荷载
机构4（图e）：也称联合机构：右柱向左 转动，D点竖直位移向下 使较大的荷载2F作正功， C点水平荷载F作负功。
2Fa − F 1.5a = M u + M u 2 + 2M u 2 + M u 若所得F为负值，则需将虚位移反方向。
对应的弯矩称为屈服弯矩MS
M S = sW
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定梁的计算
塑性铰的特点： (1) 可以承受极限弯矩Mu。 (2) 是单向铰，只沿弯矩的方向转动。
弯矩减小时，材料恢复弹性，塑 性铰消失。
图(d)：荷载再增加，截面由外向内有更多部分的应力为σS， 其余纤维处于弹性阶段—塑性流动阶段。