第六章_拉压超静定问题概论

B1
1
C1
A1
2
B
C
a
A
a
l
C1 3
e C'
B1
1
C1
A1
2
l1 = l2
B C
A
l3
l C1
3
e C''
Δl1 Δl3 Δe
(1)平衡方程 FN3 FN1 FN2 0 FN1 FN2
(2)变形几何方程为 Δl1 Δl3 Δe
(3)物理方程
FN1 B'
Δl1
FN1l EA
Δl3
FN3l e
要求出超静定结构全部的支座反力，除了静力 平衡方程外，还要列出补充方程，补充方程的数目 等于超静定次数。
复习：平面力系独立的平衡方程的数目
1、平面汇交力系 Fx 0 Fy 0
2、平面任意力系
Fx 0 Fy 0 MO 0
3、平面共线力系 Fx 0
如何列补充方程？ 根据变形协调条件列变形几何相容方程
超静定拉压杆 gi l1, l2,… 0
超静定扭转杆 gi 1,2,… 0
超静定梁
gi w1, w2 ,1,2… 0
利用力与变形之间的物理关系得到力的补充方程
物理方程 ：
拉压 扭转 梁
gi FN1, FN2 ,… 0 gi T1,T2,… 0 gi FP ,q, m… 0
超静定问题的基本思路 (1)查明多余约束力的数量,并列平衡方程。 (2)按多余约束的数量，列出多余约束处的
2. 取固定端B为“多余”约
束。相当系统如图b，变形相
容条件
B 0
即ΔlAC+ΔlCB=0
1
1
3. 补充方程为 F FB a FBb 0
EA
EA
由此求得
Fa FB l
2
2
所得FB为正值，表示FB的 指向与假设的指向相符，
即向上。
4. 由平衡方程 FA+FB-F=0 得 FA=F-Fa/l=Fb/l
路面变形缝
例题6-3 两铸件用两根钢杆 1,2 连接，其间距为 l =200mm. 现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆 3 装入铸件之间，并 保持三根杆的轴线平行且等间距 a. 试计算各杆内的装配应 力. 已知：钢杆直径 d=10mm，铜杆横截面积为2030mm的 矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa. 铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。
的问题。 A
F
工程中很多建筑结构的力学模型并不是 静定结构，而是超静定结构。
第六章 力法
“鸟巢”国家体育场 杆件结构中大量采用超静定结构
Ⅰ.关于超静定问题的概述
FA
q
FAx A
l (a)
FB
FA
FC q
FB
FAx A B
B C
l/2
l/2
(b)
超静定问题中，多于维持平衡所必需的约束（支座 或杆件）称为“多余”约束。 多余约束的数目称为超静定次数。
E3 A3
FN3
C'
x
(4)补充方程
FN2 A'
FN3l e Δe FN1l
E3 A3
EA
联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力， 进而求出装配应力.
§6-4 简单超静定梁
Ⅰ.超静定梁的解法
q
A l q
A l
相当系统
例：求解图示超静定梁 的支座反力，并画剪力 B 图和弯矩图。
分析：可以铰支座B为 B “多余”约束，解除 FB “多余”约束后的基本
N1L1 N3 L3 cos
E1 A1 E3 A3 (5) 联立平衡条件解求三杆内力
Ⅱ.装配应力和温度应力 (1) 装配应力
B
C
1
2
A
B
3D C
1 2
A1
A
1、静定结构无装配应力 2、超静定结构存在装配应力
(2) 温度应力 1、静定结构无温度应力
A
B
2、超静定结构存在温度应力
A
B
铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ自由 伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。钢轨温度 每改变1℃，每根钢轨就会承受1.645吨的压力或拉力
③变形相容条件wC=0
于是可求出多余未知力FC。
Ⅲ. 注意事项
(1) 任何超静定问题都是可以求解的： 超静定次数 = 补充方程数；
(2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力 和
位移等均可利用相当系统进行计算。 (3) “多余”约束的选择是任意的，但应以计算 方
便为原则。
如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余” 约束，则求解比较复杂。
第六章 简单的超静定问题
本章内容 §6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题
§6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
§6-1 超静定问题及其解法
*静定问题 ：由静力平衡方 程可确定全部未知力(包括 支反力与内力)的问题。
B 1
2 45 A C
F
*超静定问题：根据静力平 1 2 3 衡方程不能确定全部未知力
静定系为A端固定的悬 臂梁。
解: (1)列平衡方程，可知为一次超静定梁。
FA
q
FB Y 0 FA FB ql 0
MA A
X 0 N1 sin N2 sin 0
Y 0 N1 cos N2 cos N3 P 0
(2) 变形几何相容方程
L1 L3 cos
B
D 3
C (3) 力与变形的物理关系
1 2
L1
N1 L1 E1 A1
L3
N3 L3 E3 A3
A
L2 L3
L1
A1
(4) 建立补充方程 由几何和物理方程消除位移
变形几何相容方程。 (3)将力与变形的物理关系代入变形几何相
容方程中，得到力的补充方程。 (4)联立平衡方程和补充方程求多余约束力。
Ⅱ.列补充方程的基本方法
q
A
B
A
C
l/2
l/2
①解除“多余”约束 超静定梁
q B
l/2
FC
l
基本静定系或相当系统
q A
l/2
FC
l
B ④ 补充方程为 5ql 4 FC l 3 0 384EI 48EI
5. 求C点的位移 利用相当系统(如图)求得
ΔC
Δl AC
FN AC a EA
Fb l
a
Fab
EA lEA
原结构 相当系统
例：求三杆桁架内力,杆长 L1=L2，L3 =L ,面积 A1=A2=A，
A3 ,弹性模量 E1=E2=E，E3
B
D
C
3
1 2
N3
N1 N2
A
A
P
P
解: (1) 列静力平衡方程
q
A
B 补充方程为：
C
l/2
l/2
wB = 0
q
A
B wB 的求解比较复杂
C
l/2
l/2
FB
§6-2 拉压超静定问题
Ⅰ.拉压超静定基本问题
例题6-1 求图示等直杆AB上,下端 的约束力，并求C截面的位移。 杆的拉压刚度为EA。
解: 1. 有两个未知约束力FA , FB， 但只有一个独立的平衡方程
FA+FB-F=0 故为一次超静定问题。