与圆有关的比例线段

2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案五与圆有关的比例线段

[对应学生用书P31]

1．相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB与CD相交于P点，则P A·PB＝PC·PD.

2．割线有关定理

(1)割线定理：

①文字叙述：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

②图形表示：

如图，⊙O的割线P AB与PCD，则有：P A·PB＝PC·PD.

(2)切割线定理：

①文字叙述：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

②图形表示：

如图，⊙O的切线P A，切点为A，割线PBC，则有P A2＝PB·PC.

3．切线长定理

(1)文字叙述：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

(2)图形表示：

如图：⊙O的切线P A，PB，则P A＝PB，∠OP A＝∠OPB.

[对应学生用书P32]

相交弦定理

[例1]如图，已知在⊙O O于C、D两点，垂足是点E.

求证：PC·PD＝AE·AO.

[思路点拨] 由相交弦定理知PC ·PD ＝AP ·PB ，又P 为AB 的中点，∴PC ·PD ＝AP 2.在Rt △P AO 中再使用射影定理即可．

[证明] 连接OP ， ∵P 为AB 的中点， ∴OP ⊥AB ，AP ＝PB . ∵PE ⊥OA ， ∴AP 2＝AE ·AO .

∵PD ·PC ＝P A ·PB ＝AP 2， ∴PD ·PC ＝AE ·AO

.

(1)相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．

(2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．

1.如图，已知⊙O 的两条弦AB ，CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝4，DE ＝CE ＋3，则

CD 的长为( )

A ．4

B ．5

C ．8

D ．10

解析：设CE ＝x ，则DE ＝3＋x .根据相交弦定理，得x (x ＋3)＝2×2，x ＝1或x ＝－4(不合题意，应舍去)． 则CD ＝3＋1＋1＝5. 答案：B

2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，OM ＝ON ，P 是⊙O 上的点，PM 、PN 的延长线分别

交⊙O 于Q 、R .

求证：PM ·MQ ＝PN ·NR .

证明：

⎭

⎪⎬⎪

⎫

⎭⎪⎬⎪

⎫OM ＝ON OA ＝OB ⇒⎩⎪⎨

⎪

⎧

AM ＝BN BM ＝AN

PM ·MQ ＝AM ·MB PN ·NR ＝BN ·AN

⇒PM ·MQ ＝PN ·NR .

割线定理、切割线定理

[例2] 如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的

割线，已知AC ＝AB .

证明：(1)AD ·AE ＝AC 2； (2)FG ∥AC .

[思路点拨] (1)利用切割线定理； (2)证△ADC ∽△ACE .

[证明] (1)∵AB 是⊙O 的一条切线， ADE 是⊙O 的割线，

∴由切割线定理得AD ·AE ＝AB 2. 又AC ＝AB ，∴AD ·AE ＝AC 2. (2)由(1)得AD AC ＝AC AE

，

又∠EAC ＝∠DAC ，∴△ADC ∽△ACE . ∴∠ADC ＝∠ACE .

又∠ADC ＝∠EGF ，∴∠EGF ＝∠ACE . ∴FG ∥AC .

(1)割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．

(2)切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理．

3．如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D .若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________；AB ＝________.

解析：∵PD ∶DB ＝9∶16，

不妨设PD ＝9a ，DB ＝16a (a >0)，∴PB ＝25a . 由切割线定理知P A 2＝PD ·PB ， 即9＝9a ×25a ，∴a ＝15

.

∴PD ＝9

5.在直角三角形P AB 中，P A ＝3，

PB ＝5，可知AB ＝4. 答案：95

4

4.如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的

延长线于C ，且BM

＝MN ＝NC ，若AB ＝2.求：

(1)BC 的长； (2)⊙O 的半径r .

解：(1)不妨设BM ＝MN ＝NC ＝x .

根据切割线定理，得AB 2＝BM ·BN ，即22＝x (x ＋x )， 解得x ＝2，∴BC ＝3x ＝3 2. (2)在Rt △ABC 中， AC ＝BC 2－AB 2＝14， 由割线定理，得

CD ·AC ＝CN ·CM ，由(1)可知，

CN ＝2，BC ＝32，CM ＝BC －BM ＝32－2＝22，AC ＝14， ∴CD ＝CN ·CM AC ＝2147，

∴r ＝1

2(AC －CD )

＝12⎝⎛⎭⎫14－2147＝51414.

切线长定理

[例3] 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的切线与过A 、B 两点

的切线分别交于点E 、F ，AF 与BE 交于点P .

求证：∠EPC ＝∠EBF . [思路点拨] 切线长定理→EA ＝EC ，FC ＝FB →

EC FC ＝EP PB

→CP ∥FB

→结论

[证明] ∵EA ，EF ，FB 是⊙O 的切线， ∴EA ＝EC ，FC ＝FB .

∵EA ，FB 切⊙O 于A ，B ，AB 是直径， ∴EA ⊥AB ，FB ⊥AB .

∴EA ∥FB .∴EA BF ＝EP BP .∴EC FC ＝EP PB .

∴CP ∥FB .∴∠EPC ＝∠EBF .

运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．