例析反函数的几种题型及解法

例析反函数的几种题型及解法

反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。在历年高考中也占有一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。

一. 反函数存在的充要条件类型

例1. （2004年北京高考）函数在区间上存在反函数的充要条件是（）

A. B.

C. D.

解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数。

而已知函数在区间［1，2］上存在反函数

所以或者

即或

故选（C）

评注：函数在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是

一一映射。特别地：如果二次函数在定义域内的单调函数，那么函数f （x）必存在反函数；如果函数f（x）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f（x）在这个子区间上必存在反函数。

二. 反函数的求法类型

例2. （2005年全国卷）函数的反函数是（）

A.

B.

C.

D.

解析：由可得，故

从解得

因

所以

即其反函数是

故选（B）。

评注：这种类型题目在历年高考中比较常见。在求反函数的过程中必须注意三个问题：

（1）反函数存在的充要条件是该函数在某一区间上是一一映射；

（2）求反函数的步骤：①求原函数的值域，②反表示，即把x用y来表示，③改写，即把x与y交换，并标上定义域。其中例3在反表示后存在正负两种情况，由反函数存在的充要条件可知，只能根据函数的定义域（）来确定

，再结合原函数的值域即可得出正确结论。另外，根据反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反

函数的定义域。例如：求的反函数。

由可得

反表示解出

由应取

即

所以为其反函数。

（3）f（x）与互为反函数，对于函数来说，其反函数不是

，而是。同理的反函数也不是

，而是。

三. 求反函数定义域、值域类型

例3. （2004年北京春季）若为函数的反函数，则f－1（x）的值域为_________。

解析：通法是先求出f（x）的反函数，可求得f－1（x）的值域为

，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得f－1（x）的值域为。

评注：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。

四. 反函数的奇偶性、单调性类型

例4.函数的反函数是（）

A. 奇函数，在（）上是减函数

B. 偶函数，在（）上是减函数

C. 奇函数，在（）上是增函数

D. 偶函数，在（）上是增函数

解析：因为在（）上是增函数，在（）上是减函数

所以在（）上是增函数

易知为奇函数

利用函数与f－1（x）具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条性质，立即选（C）。

五. 反函数求值类型

例5. （2005年湖南省高考）设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数，则___________。

解析：由，可知函数f（x）的图象过点（4，0）。而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（-2，4）。由题意知点（-2，4）也在函数f（x）的图象上，

即有，所以。

评注：此题是关于反函数求值的问题，但又综合了函数图象关于点的对称问题。在反函数求值时经常要用到这条性质：当函数f（x）存在反函数时，若，则

。

如（2004年湖南省高考）设f－1（x）是函数的反函数，若

，则的值为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D.

分析：直接利用：若，则。

选（B）。

六. 反函数方程类型

例6.（2004年上海市高考）已知函数，则方程f－1（x）=4的解x=_____________。

解析：当函数f（x）存在反函数时，若，则。所以只需求出

的值即为f－1（x）=4中的x的值。易知，所以即为所求的值。评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求。即先求出反函数f－1（x）

的解析式，再解方程f－1（x）=4，也可得。

七. 反函数不等式类型

例7. （2005年天津市高考）设f－1（x）是函数的反函数，则f－1（x）>1成立时x的取值范围是（）

A. B.

C. D.

解析：由，知函数f（x）在R上为增函数，所以f－1（x）在R上也为增函数。

故由f－1（x）>1，有

而

可得

故选（A）。

评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。而下面的题目选用常规方法解则更为简便。

如（2004年湖南省高考）设f－1（x）是函数的反函数，则下列不等式中恒成立的是（）

A. B.

C. D.

分析：依题意知。画出略图，故选（A）。

八. 反函数的图象类型

例8. （2004年福建省高考）已知函数的反函数是，则

的图象是（）

解析：由题意知

则

所以的图象可由的图象向右平移1个单位而得到。

故选（C）。

评注：解反函数的图象问题，通常方法有：平移法，对称法等。对称法是指根据原、反函数的图象关于直线对称来求解；特殊地，若一个函数的反函数是它本身，则它的图象关于直线y=x对称，这种函数称为自反函数。

九. 与反函数有关的综合性类型

例9.（2003年黄冈市模考）设，f（x）是奇函数，且。

（1）试求f（x）的反函数f－1（x）的解析式及f－1（x）的定义域；

（2）设，若时，恒成立，求实数k的取值范围。

解析：（1）因为f（x）是奇函数，且

所以

得

所以