微分中值定理及其应用习题课

(B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值;
(D) f (x)的导数不存在.
提示: 利用极限的保号性 .
2. 设 f (x) 在 x 0 的某邻域内连续, 且 f (0) 0,
lim f (x) 2, 则在点 x 0 处 f (x) ( D ).
x01 cos x
(A) 不可导 ;
例10. 求数列
的最大项 .
例11. 证明 ln(1 x) arctan x (x 0). 1 x
思考: 证明 1 x ln(1 x) (0 x 1) 时, 如何设辅助 1 x arcsin x
函数更好 ?
提示: (x) (1 x) ln(1 x) 1 x2 arcsin x
例12. 设
习题课 微分中值定理及其应用
一、 微分中值定理 二、 应用
一、 微分中值定理
1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
f (a) f (b) 拉格朗日中值定理
f ( ) 0
y F (x)y fx(x) f (a) f (b)
柯o 西a 中值b定x理
f ( ) f (b) f (a)
ba
F(x) x
提示:
f (x0) 4 f (x0) 0
且在
递减 , 证明对一切
上 有
存在 , 且单调
例13.
例14. 证明当 x > 0 时,
证: 令 f (x) (x2 1)ln x (x 1)2, 则 f (1) 0
f
(x)
2x ln
x
x
1 x
2(x
1) ,
f (1) 0
f
(x)
2 ln
x
1
1 x2
,
f
( x)
2(x2 1) x3
f (1) 2 0
(B) 可导, 且 f (0) 0;
(C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 .
提示: 利用极限的保号性 .
3. 设 y f (x) 是方程 y 2 y 4 y 0 的一个解,
A 若 f (x0) 0, 且 f (x0) 0, 则 f (x) 在 x0 ( )
(A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 .
f
(x)
2x
ln
x
1 x
x
2
f
(x)
2
ln
x
1 x2
1
,
法3 利用极值第二判别法.
易知 x 1是 f (x) 0的唯一根 ,
且 f (1) 0, x 1为 f (x)的唯一
极小点，故 f (1) 0也是最小值 ,
因此当 x 0时 f (x) 0, 即
(x2 1)ln x (x 1)2
n0
y
y f (x)
泰勒中值定理
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F( )
f (x) f (x0 ) o f a(x0 )(x bx0x)
1 n!
f
(n)
( x0
)(x
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x0
)n
1 (n1)!
f
(n1)
( )(x
x0 )n1
2. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理,
f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 试证必存在 (0,3), 使 f ( ) 0. (03考研)
例6. 设函数
在
且
证明
上二阶可导,
二、 微分中值定理的应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线
2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题
例1. 设函数 证明 在
在
内可导, 且
内有界.
例2. 设 在 上连续, 在 证明至少存在一点
内可导, 且 使
例3.
且
试证存在
例4. 设实数
满足下述等式
a0
a1 2
an n 1
0
证明方程
在 ( 0 , 1) 内至少有一
个实根 .
例5. 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
可用逆向思维找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用
柯西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用
中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
有时也可考虑对导数用中值定理 . (5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
f
(x)
2x
ln
x
1 x
x
2
f (1) 0
f
(x)
2
ln
x
1 x2
1
,
f
( x)
2(
x2 1) x3
x
f (x)
f (1) 2 0
( 0 , 1)
1 (1, )
0
f (x)
2
f (x)
0
f (x)
0
故当x 0时 f (x) 0, 即 (x2 1)ln x (x 1)2 .
f (x) (x2 1)ln x (x 1)2 ,
3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 相关变化率; 证明不等式 ; 研究方程实根等.
例8. 证明
在
上单调增加.
例9. 设 在
上可导, 且
证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .
思考: 若题中
改为 f (x) f (x) 0,
其它不变时, 如何设辅助函数?
(x) ex f (x)
法1 由 f (x) 在 x 1 处的二阶泰勒公式 , 得
f (x) f (1) (x 1)2 f ( ) (x 1)3
2!
3!
(x 1)2 3231(x 1)3 0
(x 0, 在 x
与 1 之间)
故所证不等式成立 .
法2 列表判别:
f (x) (x2 1)ln x (x 1)2 , f (1) 0
f (1) 0 f (1) 0 f (1) 2 0
y (x2 1) ln x (x 1)2
1
例15. 求
解法1 利用中值定理求极限 解法2 利用泰勒公式 解法3 利用罗必塔法则
思考与练习
1.
设
lim
xa
f
(x) f (a) (x a)2
1,
则在点
a
处(
B
).
(A) f (x) 的导数存在 , 且 f (a) 0；