高中数学1.3.2球体的体积和表面积学案新人教A版必修

1. 3.2 球的体积和表面积

【教学目标】

（1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 （2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 【教学重难点】

重点：球的体积和面积公式的实际应用

难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。 【教学过程】

一、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。

教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？ 球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积33

4

R π=

球Ｖ，表面积Ｓ＝４πR 2 二、典例

例1．一种空心钢球的质量是732πg ，外径是5cm ，求它的内径. （钢密度9g/cm 3

） 求空心钢球的体积 。

解析：利用“体积=质量/密度”及球的体积公式

33

4

R π=

球Ｖ 解：设球的内径为r,由已知得球的体积V=732π/9(cm 3

) 由V=(4/3) π(53

-r 3

)得r=4(cm)

点评：初步应用球的体积公式

变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________(π34) 例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。 （答案：2500π）

解析：利用轴截面解决

解：设球的半径为R,球心到较大截面的距离为x 则R 2

=x 2

+202

,R 2

=(x+9)2

+72

解得x=15,R=25所以球的表面积Ｓ＝2500π 点评：数形结合解决实际问题

变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，

则这个球的表面积是 。 （答案50π）

【板书设计】

一、球的面积和体积公式 二、例题 例1

变式1 例2 变式2

【作业布置】P30 1、2

1.3.2 球的体积和表面积

课前预习学案

一． 预习目标：记忆球的体积、表面积公式

二．

预习内容：1.3.2课本内容思考：球的大小是与球的半径有关，如何用球半

径来 表示球的体积和面积

三．提出疑惑

课内探究学案

一．学习目标：应用球的体积与表面积公式的解决实际问题 学习重点：球的体积和面积公式的实际应用

学习难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。

二．学习过程：教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。

教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？ 球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积

33

4

R π=

球Ｖ，表面积Ｓ＝４πR 2 例1．一种空心钢球的质量是732πg ，外径是5cm ，求它的内径. （钢密度9g/cm 3

） 求空心钢球的体积 。

变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________

例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。

变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，

则这个球的表面积是 。

课后练习与提高

一．选择题

1． 将气球的半径扩大1倍，它的体积增大到原来的（）倍

A2 B4 C8 D16

2.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）

A.16π

B.20π

C.24π

D.32π 3.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）

A.1倍

B.2倍

C.59倍

D.4

7

倍. 二．填空题

4.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.

5.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为_____________..

三．解答题

6. 图5是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？

图5