导电滑轨中的焦耳热问题

导电滑轨中的焦耳热问题[转载]

导电滑轨中的焦耳热问题在近几年高考中频频出现，此类问题涉及磁场对电流的作用、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、功能关系、能量守恒定律等知识。解决这类问题，要根据物体的受力情况和运动情况对物体进行动态分析，还要对运动过程中的能量进行深入分析。下面通过例题说明这类问题的解决方法。

例题1（2014北京理综）导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识。如图1所示，固定于水平面的U型导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在于其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度v做匀速运动，速度v与恒力F的方向相同；导线MN始终与导线框形成闭合电路。已知导线MN电阻为R，其长度 L恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B。忽略摩擦阻力和导线框的电阻。

（1）通过公式推导验证：在时间内，F对导线MN所做的功W等于电路获得的电能也等于导线MN中产生的焦耳热Q；

（2）、（3）略。

分析和解：（1）由法拉第电磁感应定律得MN中产生的感应电动势E=BLv，由闭合电路欧姆定律得流过MN中的电流I==。因导体MN做匀速运动，所以导体MN受到的水平向左的安培力F ==BIL=，Δt时间内，MN移动的距离s=vΔt ，Δt时间内，F对MN所做的功W＝Fs＝。电路获得的电能=EIΔt=；MN中的焦耳热Q=I2RΔt＝。

所以在Δt时间内，F对导线MN所做的功W等于电路获得的电能也等于导线MN中产生的焦耳热Q。

例题2（2014安徽理综）如图2-1所示，匀强磁场的磁感应强度B为0.5T，其方向垂直于倾角θ为30°的斜面向上。绝缘斜面上固定有“∧”形状的光滑金属导轨MPN（电阻忽略不计），MP和NP长度均为2.5m，MN连线水平，长为3m。以MN中点O为原点、OP为x轴建立一维坐标系Ox。一根粗细均匀的金属杆CD，长度d为3m、质量m为1kg、电阻R为0.3Ω，在拉力F的作用下，从MN处以恒定的速度v=1m/s在导轨上沿x轴正向运动（金属杆与导轨接触良好）。g取10m/s2。

（1）求金属杆CD运动过程中产生产生的感应电动势E及运动到x=0.8m处电势U CD；

（2）推导金属杆CD从MN处运动到P点过程中拉力F与位置坐标x的关系式，并在图2-2中画出F-x 关系图像；

（3）求金属杆CD从MN处运动到P点的全过程产生的焦耳热。

分析和解：设CD杆的位置坐标为x时，金属杆CD在导轨间的一段长度为L。由几何关系得

，L===（3－）m 。

（1）金属杆CD处在磁场中做匀速运动，由法拉第电磁感应定律得，金属杆CD运动过程中产生的感应电动势E=Bdv=0.5×3×1V=1.5V。

当CD运动到x=0.8m处时，金属杆CD在导轨间的长度为L的一段两端的电势差为零（因为L两端被导轨短路。例如3节串联在一起的干电池组成的电池组，当中间一节电池两端用导线连在一起，则3节电

池组成的电池组两端的电势差等于两端两节电池两端的电势差之和）。CD两端的电势差等于CD上除去长为L的一段后剩下的两段导体在磁场中运动时产生的电动势之和。CD上除去长为L的一段后剩下的两段导

体长度之和L1=d-L=3m-（3-） m=1.2m .因为CD在磁场中运动时，C端的电势低于D端的电势，所以U CD=-BL1v=-0.5×1.2×1V=-0.6V 。

（2）CD杆上，长度为L段的杆对应的电阻R1=R=×0.3Ω＝（0.3-0.15x）Ω，CD杆上导轨间长为L的一段与导轨构成回路，由法拉第电磁感应定律得L段中的电流I==

A=5A。所以CD杆受到的安培力=BIL=＝0.5×5×（3－）N＝（7.5-3.75x）N （0≤x≤2）。

杆CD在磁场中做匀速运动，沿导轨方向受到平衡力作用，所以F=mgsinθ+＝1×10sin30°

+7.5-3.75x＝（12.5—3.75x）N （0≤x≤2），拉力F与位置坐标x的关系图像如图2-3所示。

（3）金属杆CD从MN处运动到P点的全过程中，力F对杆做正功，杆的重力、杆受到的安培力对杆做负功。力F克服杆的重力做的功等于杆重力势能的变化ΔE P；力F克服安培力做的功等于电路中产生的焦耳热Q。

金属杆CD从MN处运动到P点的全过程中，由图2-3得，力F对杆做的功W F等于F-x与x轴所围成的

面积，所以W F=J=17.5J ；杆重力势能的增量ΔE P=mg·OP·sinθ=1×10×2×sin30°J=10 J 。

由能量守恒得W F=ΔE P+Q ，Q=W F—ΔE P=17.5J—10J=7.5J 。

例题3（2014江苏物理）如图3所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨导轨，间距为L，长为3 d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d 的薄绝缘涂层。匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m 的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g。求：

（1）导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；

（2）导体棒匀速运动的速度大小v；

（3）整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。

分析和解：（1）导体棒在绝缘涂层上滑动时，导体棒两端有电势差，但导体棒中无电流，所以导体棒不受安培力的作用。由导体棒在绝缘涂层上匀速滑动，知导体棒受平衡力作用，即mgsinθ=μmgcosθ，解得μ=tanθ。

（2）导体棒在光滑导轨上匀速滑动时，产生的感应电动势E=BLv，导体棒中的电流I==，导体棒受到的安培力=BIL=。因导体棒在光滑导轨上匀速运动时受平衡力作用，所以mgsin θ=，即mgsinθ=解得v=。

（3）导体棒在无绝缘涂层的导轨上滑动时，导体棒中有电流，电阻中也有电流，此时段电阻上会有焦耳热产生；导体棒在绝缘涂层上滑动时，电阻中无电流流过，此时段电阻上无焦耳热。

设导体棒在滑到绝缘涂层前在导轨上滑动时，电阻上产生的焦耳热为Q1，由能量守恒定律得，mgdsin θ=Q1+mv2。解得Q1= mgdsinθ—mv2 。设导体棒滑离绝缘涂层后在导轨上滑动时，电阻上产生的焦耳热为Q2，由能量守恒定律得， mgdsinθ=Q2 。整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q=Q1+Q2=2mgdsinθ—

mv2=2 mgdsinθ—。

例题4（2014天津理综）如图4所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角=300的斜面上，导轨电阻不计，间距L=0.4m。导轨所在空间被分成区域I和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，I中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁场感应度大小均为B=0.5T，在区域I中，将质量m1=0.1kg，电阻R1=0.1的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑。然后，在区域Ⅱ中将质量m2=0.4kg，电阻R2=0.1的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑，cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与轨道垂直且两端与轨道保持良好接触，取g=10m/s2，问