材料力学——7-1应力分析

x (1 cos 2 ) / 2
x sin cos
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的 几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质——a、同一面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
P
A
P
A
等价
等价
四、普遍状态下的应力表示
下标：
y
y
第一下标为应力所在面的法线方向
z
z
x 第二下标为应力的方向；
xy
正负：
x
正应力与截面外法线同向时为正
6
五、切应力互等定理（Theorem of Conjugate
Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果
xy
有与相交边垂直的切应力分量,则,两个面上的
yx
这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。
xy
sin 2
同理：
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
平面应力状态任意斜截面上的应力：
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
21
二、极值正应力 就是主应力！
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
令 : d
d 0
x y
sin 20 2 xy cos 20 0
规定：、 截面外法线同向为正；
、 绕研究对象顺时针转为正；
、 逆时针为正。
设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
Fn 0
S x S cos2 xyS cos sin
图1
y S sin2 yx S sin cos 0
考虑切应力互等和三角变换，得：
n
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy
三个主应力都不为零的应力状态。
、平面应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
、单向应力状态 （Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x
3 1
A x
§7－2 平面应力状态分析——解析法
等价
19
一、任意斜截面上的应力
′
1
23
三、极值切应力
令 : d
0
d 1
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
tg21
x 2 xy
y
max
min
± （x
y
2
）2
2 xy
0
1
4
极 值 剪 应 力 面 与 主 面 成 450
主 单元体
2′
45°
´
´ 1′
例：8—2—1 分析受扭构件的破坏规律。
Ｍ
C
解：确定危险点并画其原始单元体
第七章 应力和应变分析 强度理论
1、 应力状态与平面应力状态研究 ２、普遍形式的应力状态研究 ３、平面应力状态下的应变研究 ４、 普遍形式的应力——应变关系 5、 强度理论及相当应力 6、 强度理论的应用
§7－１应力状态的概念
一、引子 ：1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P
Ｍ
铸铁
由此可得两个驻点：
tg20
2 xy x
y
、
01
（ 01
）和两各极值：
2
mm´´ainx
x
y ±（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0 极值正应力就是主应力！
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
′ 1
mm´´ainx
x
y ±（x
2
y
2
）2
2 xy
1
´
max
;
2
´
min
1在切应力相对的项限内， 且偏向于x 及y大的一侧。
sin 2
y cos 2 xy cos 2
xy
sin
2
对上述方程消参（2），得：
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）
y n
二、应力圆的画法
、建立应力坐标系，如图2，
（注意选好比例尺）
x xy
、在坐标系内画出点A（ x， x y）和 B（ y， yx）
0
破坏分析
低碳钢
低碳钢 : s 240MPa ; s 200MPa
灰口铸铁 : Lb 98 ~ 280MPa yb 640 ~ 960MPa; b 198 ~ 300MPa
§7－3 平面应力状态分析——图解法
一、应力圆（ Stress Circle）
x x
y
2
y
2
x
2
B
B
纵剖面
切应力
自由面 : 应力为零
横截面
正应力 M B
W
切应力 TB
WP
y
B
C
Ｍ
z
例 8-1-1
画出下列图中的A、B、C点的原始单元体。
自由面 自由面
A
AA
Ｍ
横截A面
zx
xz
zx xz
y
B
C z
自由面
yx
Ｍ
x
B
zx
xz
x
C xy
自由面
16
八、主单元体、主面、主应力：
低碳钢
断口
断口 断口
P 铸铁 P
P
断口
2、组合变形杆将怎样破坏？ 强度准则应该是什么样的呢?
P
Ｍ
行 吗 ?
P1 P2
P1 ? P2 ?
P2 P1
!!! 不行
二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的 集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
y
y
x
z
z
x
、主单元体(Principal bidy)：
各侧面上切应力均为零的单元体。
、主面(Principal Plane)：
切应力为零的截面。
、主应力(Principal Stress ）：
主面上的正应力。
、主应力排列规定：
按代数值大小，
1 2 3
、三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）：
yx C xy
x y 0
xy
Mn WP
xy 主应力
y yx
ox
1 2
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
2 xy
1 ; 2 0 ; 3
1 ; 2 0 ; 3
0 45
tg20
2 xy x y
m ax m in
（ x
2
y
）2
2 xy
1 0
tg21
x y 2 xy
y ox
图1
、AB与 轴的交点C便是圆心。
x
、以C 为圆心，以AC 为半径
画圆——应力圆，；
A（ x，x y）三、单元体与应力圆的对应关系
2 C
、面上的应力（ ， ）
←→应力圆上一点（ ， ）
n Do
、面的法线←→ 应力圆的半径
（ ， B）（ y，y x）
图2
、两面夹角
←→两半径夹角2 ；且转向一致。
yx
y
z
z
y
x xy
x
证明: 单元体平衡 Mz 0
( xydydz)dx ( yxdzdx)dy 0
xy yx
六、原始单元体： 各个面上应力已知或可求。
P
A
P
A
Байду номын сангаас价
七 、原始单元体的截取方法：自由面、横截面、纵面
y
B
C z
Ｍ
x
9
B C
B C
Ｍ
10
B
C
B
C
11
B
12
B
13