第二讲 双曲型方程组及间断解

（2）
5 4
（4）
2c Ru 1 2c S u 1
x
（ 1）
3
1
2
S5 S4 S2
R5 R3 , R4 R1
由于点1 和点3 均在未扰动区： R3 R1
S5 S 4 R5 R4
u 4 u5 c4 c5
在（3）区内， 所有物理量（u,c）沿特征线M不变 特征保持直线，特征波传播速度不变
U U S1 ΛS 0 t x
S
U U ΛS 0 t x
令
s1 S ... s m
（行向量）
x x(t )
dx / dt k
sk (
U U k )0 t x
在x-t空间引入 特征线：
沿特征线
U U dU k t x dt dU sk 0 dt
目的： 学会如何运用Riemann不变量解题
A sin x 0 x 2 u ( x,0) 0 others ( x,0) 1; p( x,0) 1
考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时 刻（t=0）流动状态如下：
xa x xb u( x), ( x) u, 0, 0 ( const) others
简单波
12
Copyright by Li Xinliang
各区物理含义
扰动区 t=0时刻
t
（2） （3） （4）
x
（ 1）
x
t=t1时刻
左行波
右行波 x t=t2时刻
区域（2）， 区域（3），仅 感受到左行波 尚未感受 的影响 到波 简单波
波型、波速不变
区域（1），感受 到左、右波的影响
区域（4），波已传 播过去，恢复平静
9 Copyright by Li Xinliang
A sin x 0 x 2 u ( x,0) 0 others ( x,0) 1; p( x,0) 1
大扰动，非线性波
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
t=0
t=1 t=2
uຫໍສະໝຸດ Baidu
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -5 0 5 10
在（x,t）空间： 沿特征线1： 沿特征线2：
dx / dt u c
dx / dt u c
2c const 1 2c S u const 1 Ru
扰动波以当地声速 向两侧传播
u c
u c
扰动源 扰动向两侧传播
观测者
8
感受到两侧的扰动
例2.1： 有限振幅波的传播问题
1
知识回顾 1. 流体力学基本方程
概念： 连续介质假设； Euler描述/Lagrange描述 N-S方程—— 描述 质量、动量、能量守恒 的方程组 流通量： 单位时间内通过垂直于x/y/z 轴单位面积的 质量、动量、能量
U F1 (U ) F2 (U ) F3 (U ) G1 G2 G3 t x y z x y z
u u c [ ] [ ]0 1 1 t x t x c[ ] [ u u ] 0 2 2 t x t x
(1) (2)
1, 2 u c
x x(t )
沿特征线1： 有：
无量纲量： 物理量与参考量（特征量）之比
2. 偏微分方程（组）及其类型
有N个实特征根（含重根） N个独立特征向量
A S 1 ΛS
V SU
U U A 0 t x
V V Λ 0 t x
解耦成N个独立的方程 双曲型
v j t j v j x 0
有1个N重特征根 独立特征变量数<N 全部为复特征根
dx / dt 1
t 特征线
dx / dt u c
d 1 dt t x
du c d 0 dt dt (3)
x 积分因子
（1）转化为
绝热关系式
s p / const c 2 p / RT s 1 c ( s )1/2 ( 1)/2 dc / d
数值解
1 0.8 0.6 0.4 0.2
t=0
t=1 t=2
试分析t=t0时刻的流动状态 （假设流场 不出现间断） t
（4） （3） （2） （1）
0
u
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -5 0 5 10
x
不同时刻的速度分布（A=1）
0.015 0.01
t=0
x
0.005
t=4
t=3
t=2
例： 激波两侧关系
1 (u1 Z ) 2 (u2 Z ) 1u1 (u1 Z ) p1 2u2 (u2 Z ) p2 E (u Z ) u p E (u Z ) p u 1 1 2 2 2 2 1 1
与等温相比，绝热 气体更难压缩 等熵情况下，仅有一个 独立的热力学变量； 给定任何一个都意味着 给定全部热力学量；
5 Copyright by Li Xinliang
1
2
( s )1/2 ( 3)/2
1
2
c/
均熵运动情况下，能量方程可用熵为常数替代
u 0 t x u ( u 2 p ) 0 t x
3 Copyright by Li Xinliang
2.1 双曲型方程组
1. 双曲型方程组的特征方程
U U A(U) 0 t x U (u1 , u 2 ,...... u m )T
x x(t )
t 特征线
dx / dt k x
变系数方程组的情况
令：
A S ΛS
1
定义：
Ru
2c 1
dR du 2 dc d du c d 0 dt dt 1 d dt dt dt
1
2
( s )1/2 ( 3)/2
1
2
c/
特征相容关系
Ru
2c const 1
沿特征线1： R不变
注意：声速c 是温度的 函数，可不是常数！ c2 ~ T ( c2 就是温度啊！）
（变系数情况）虽然不能解耦，但能转换成常微方程组
Copyright by Li Xinliang 4
例：一维等（均）熵运动
预备知识： 完全气体中的热力学量
, p, T , s, h,U , c
密度、压力、温度、熵、焓
内能、声速
（完全气体）仅与温度有关
若不考虑粘性，流体微 团运动过程中熵不变； 如果来流熵均匀分布， 则全流场熵均匀分布
区域（2），（4） 未扰动
解出 x1, x2
因而方程是非线性的
注意：
u1 u ( x1 ), u2 u ( x2 ) c1 c( x1 ), c2 c( x2 )
区域（1）内的流动使用基本 方法计算
区域（3）内的计算可简化
利用Riemann不变量得：
2 2 u3 1 c3 u1 1 c1 u 2 c u 2 c 3 3 2 2 1 1
u u 0 t x x u u c2 / u 0 t x x
p c2 s
一维均熵流动控制方程（Euler方程简化版）
U U A 0 t x
若不考虑粘性，流体微 团运动过程中熵不变； 如果来流熵均匀分布， 则全流场熵均匀分布
2
抛物型 椭圆型
特征线； 特征相容关系；
Copyright by Li Xinliang
双曲方程边界条件提法
U U A 0 t x
j=1
v j t j v j x 0
j=2
方法： 独立给定j个方程的边界条件
如果 j>0, 则在左端给定vj的边界条件 如果 j<0, 则在右端给定vj的边界条件
x
0.015
0.01
t=0
0.005
t=4
t=3
t=2
t=1
0
-0.005
u
-0.01
1D Euler with initial disturbance u=0.01sin(x)
-0.015 -5
0
5
10
x
小扰动，线性波
一维扰动波的传播 （上： A=1; 下： A=0.01）
10 Copyright by Li Xinliang
13
Copyright by Li Xinliang
3. 双曲型方程的间断解
双曲方程的特点： 扰动波传播速度有限 可能产生间断
弱间断： 函数连续，但导数间断 （如稀疏波的波头、波尾） 强间断： 函数本身间断 （如激波、接触间断） 流体力学控制方程： 积分型 （假设函数连续、光滑） 微分型 间断处虽然无法满足微分型方程， 但积分型方程（三大守恒律）仍然满足
同理推导，
沿特征线2： dx / dt u c
S u 2c const 1
t
特征线2
dx / dt u c
特征线1
C
dx / dt u c
Ru
2c const 1
S u
2c const 1
x
A
B
知识点，牢记！
一维均熵流动沿特征线Riemann不变量保持不变
解出 u3 , c3
解出t3时刻的流场，继续推进下个时刻
(3) 区内的波传播速度为常数，且 在传播过程中物理量保持不变—— 简单波 特征线为直线
11 Copyright by Li Xinliang
区域 （3） 内扰动波的传播特点
t
（3）
M
考虑 （3）区内的, 同属一条特 征线M 上的任意两个点4 和5：
基本解题思路： 利用特征关系
t
t
dx / dt u c
概念： 简单波
D
3
dx / dt u c
F
（4）
G
E
x 1 2
（3） C （2） （1）
x B
A
给定x3,t3 利用 （假设t3充分小）
x3 x1 (u1 c1 )(t3 t1 ) x3 x2 (u2 c2 )(t3 t2 )
只有两个独立变量
小常识： 等熵（绝热）关系
U C vT
s p / const

c RT
c 2 p / RT s 1 c ( s )1/2 ( 1)/2 c / ( s )1/2 ( 3)/2
dc / d
计算流体力学讲义2011
第二讲 双曲型方程组及间断解
李新亮 lixl@imech.ac.cn ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
双曲型方程的特征方程 双曲型方程的弱解及熵条件 Riemann间断解—— 精确解、近似解初步
讲义、课件上传至 www.cfluid.com (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ”
A B
一维Euler方程
1 u, 2 u c, 3 u c
条件
u 0 and u 0 and u 0 and u 0 and u c u c u c u c
描述
边界条件设定
超音速入口 亚音速入口 超音速出口 亚音速出口
给定3个边界条件 给定2个边界条件 无需给定边界条件 给定1个边界条件
U u
u A 2 c /

u
矩阵A的特征值
1, 2 u c
S
c S c
1 AS 0
1
0 S 2
U U S 1S 0 t x
U U S 0 t x
u u c [ ] [ ]0 1 1 t x t x c[ ] [ u u ] 0 2 2 t x t x
t=1
0
利用特征线，分析不同区域的差异 等（均）熵情况下，同族特征线不会相交 思考题： 小扰动的传播情况？
-0.005
u
-0.01
1D Euler with initial disturbance u=0.01sin(x)
-0.015 -5
0
5
10
x
不同时刻的速度分布（A=0.01） u( x, t ) 0.005sin(x ct ) 0.005sin(x ct )