向量空间的基与维数.ppt

乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3 .
类似地，n维向量的全体Rn，也是一个向量空 间.
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例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2 ,, xn T x2 ,, xn R
解 V1是向量空间 .
因为对于V1的任意两个元素
0, a2 ,, an T , 0, b2 ,, bn T V1 ,
P(x, y,z)
一一对应
r ( x, y, z)T
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n 3时，n 维向量没有直观的几何形象．
Rn x( x1, x2,, xn)T x1, x2,, xnR
叫做 n 维向量空间．
x( x1, x2,, xn)T a1 x1a2 x2an xnb
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例6 设矩阵
2 2 1


A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 ,
1 2 2
1 4


B (b1 ,b2 ) 0 3,
4 2
验证a1 ,a2 ,a3 ,是R3的一个基，并把b1 ,b2用这个基
思考题
思考题
设V x (a, b)T a, b R ,定义加法与数乘
运算如下: 加法 : (a, b) (c, d ) (a c, bd ), 数乘 : k (a, b) (lg a, bk),k R
V是不是向量空间?为什么?
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证 设x V1，则x可由a1 ,, am线性表示. 因a1 ,,am可由b1 ,,bs线性表示，故x可由b1 ,, bs线性表示， 所以x V2 .
这就是说，若x V1，则x V2， 因此V1 V2 .
类似地可证 : 若x V2 ,则x V1 , 因此V2 V1 .
因为V1 V2，V2 V1，所以V1 V2 .
线性表示.
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解 要证a1 , a2 , a3是R3的一个基，只要证a1 , a2 , a3 线性无关，即只要证A ~ E.
设
b1 x11a1 x21a2 x31a3 ,
b2 x12a1 x22a2 x32a3，
即
x11 (b1 ,b2 ) (a1 ,a2 ,a3 ) x21
有 0,a2 b2 ,,an bn T V1
0, a2 ,, an T V1 .
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例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 ,, xn T x2 ,, xn R
解 V2不是向量空间.
三、向量空间的基与维数
定义3 设 V是向量空间，如果 r 个向量 1,2 , ,r V，且满足
(1) 1, 2 ,, r线性无关;
(2)V中任一向量都可由1,2 ,,r线性表示.
那末，向量组 1 ,2 ,,r 就称为向量V 的一个 基，r 称为向量空间V 的维数，并称V 为r 维向量
思考题解答
思考题解答
解 V不是向量空间. 显然,V对加法封闭,因为两个正实数的和与积
还是正实数. 但V对乘法不封闭. 比如V中的元素(1, b),对任意实数k, k (1, b) (lg1, bk) (0, bk)V .
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5 3
1 0 0 2 4


0
1
0
3 2
3
3
1

0
0
1
1
2 3
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1 0 0 2 4

3 3
~ ( A B)初等行变换 0

1
百度文库
0
2 3
1
0
0
1
1
2 3
因有A ~ E，故a1 ,a2 ,a3为R3的一个基，且
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
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~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
x31 记作B AX .
x12 x22 , x32
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对矩阵( AB)施行初等行变换，若A能变为E，
则a1 ,a2 ,a3为R3的一个基，且当A变为E时，B变为
X A1B.
( AB)

2 2
2 1 1 2
1 0
4 3
因为若 1,a2 ,,an T V2 , 则2 2,2a2 ,,2an T V2 .
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例4 设a, b为两个已知的 n维向量，集合
V x a b , R
试判断集合是否为向量空间.
解 V是一个向量空间.因为若x1 1a 1b x2 2a 2b， 则有
说明 1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指
若 V , V , 则 V ; 若 V , R, 则 V .
2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作Rn.
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例1 3 维向量的全体 R 3 , 是一个向量空间 . 因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
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五、小结
五、小 结
１．向量空间的概念： 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭； 由向量组生成的向量空间．
２．子空间的概念． ３．向量空间的基和维数：
求向量空间基和维数的方法．
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例5 设向量组a1 ,,am与向量组b1 ,,bs等价， 记
V1 x 1a1 2a2 mam 1 ,2 ,,m R V2 x 1b1 2b2 sbs 1 , 2 , s R
试证：V1 V2 .
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标
代数形象： 向量的 坐标表示式
系 aT (a1 ,a2 ,,an )
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解析几何
空间
(n 3)
线性代数
点空间：点的集合
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
坐
向量空间：向量的集合
标
代数形象： 向量空
系
间中的平面
( x, y,z) axbyczd r ( x, y,z)T axbyczd
1 2 2 4 2
1 3 (r1
r2
~

r3
)
1 2 1
11 1 2 22
1 0 4
3 3 2
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1
3 (r1
r2
~

r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b V ,
kx1 (k1 )a (k1 )b V .
这个向量空间称为由向量a, b所生成的向量空 间.
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一般地，由向量组a1, a2 ,, am所生成的向量空 间为
V x 1a1 2a2 mam 1,2 ,,m R
空间．
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说明
（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量 空间，因此它没有基．
（2）若把向量空间 V看作向量组，那末V的基
就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 秩.
（3）若向量组

1
,
2
,
,
是向量空间
r
V 的一
个基，则 V 可表示为
V x 11 22 rr 1 ,,r R
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二、子空间
二、子空间
定义2 设有向量空间 V1及V2，若向量空间V1 V2， 就说 V1 是 V2 的子空间． 实例
设V 是由 n 维向量所组成的向量空间， 显然V Rn 所以V总是 Rn的子空间.
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三、向量空间的基与维数
叫做 n维向量空间 Rn中的n 1维超平面．
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n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
( ) (2 2 )
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
r2r3~(33)
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1

3
0
1
1
5 3
5 3
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r2r3~(33)
r1

~
r3
r3 r2
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1

3
0
1
1
5 3
2 4


3 3
b1
, b2


(a1
,a2
,a3
)

2 3
1 .


1
2 3
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四、向量与向量空间
四、向量与向量空间
解析几何
向量
(n 3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐
有次序的实数组成的数组
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
第四章 向量组的线性相关性
第五节 向量空间
一、向量空间的概念 二、子空间 三、向量空间的基与维数 四、小结 思考题
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一、向量空间的概念
一、向量空间的概念
定义1 设V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空，
且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间．