高中数学必修二第二章2.1.1平面

P , 且P l , 且P l
思考5:你能说一说公理3有哪些理论作 用吗？ 确定两平面相交的依据，判断多点共 线的依据.
为什么自行车只需安装一个脚撑?
一扇门用两个合页加一把锁就固定了，
这是依据什么原理？
推论1: 经过一条直线和直线外的一 点,有且只有一个平面.
平静的水面
观察教室里的桌面、黑板面.
围成多面体的面
思考2:将一条线段向两端无限伸展得到 的图形是什么？将课桌面、平静的水面、 田径场地面向四周无限伸展得到的图形 是什么？
思考3:直线是否有长短、粗细之分？平 面是否有大小、厚薄之别？
平面是一个只描述而不定义的最基本的概念, 它是从日常见到的具体的平面抽象出来的理想化 的模型.
问题提出
1.点、直线、平面是构成空间图形的 三个基本元素，在长方体中，顶点， 棱所在的直线，以及侧面、底面之间存 D′ C′ 在哪些位置关系？
A′ D A B B′ C
2.空间中，点、直线、平面之间有哪些 基本位置关系？我们将从理论进行分析 和探究.
探究(一): 平面的概念、画法及表示
思考1:生活中有许多物体通常呈平 面 形，你能列举一些实例吗？
(2) 通常画平行四边形表示平面，当平面是水平放 置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°横边 画成邻边长的2倍。 （3）画直立平面时，要有一组对边为铅垂线。
水平平面 铅直平面
（4）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住， 可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。
M M
N
N
练习：画两个相交的平面，并标上字母。
A ．
B ．
A l , B l , 且A , B l
探究（三）：平面的基本性质2
思考1:空间中，经过两点有且只有一条 直线，即两点确定一条直线，那么两点 能否确定一个平面？经过三点、四点可 以作多少个平面？ 思考2:照相机，测量仪等器材的支架为 何要做成三脚架？
思考3:经过任意三点都能确定一个平面 吗？由此可得什么结论？
思考8:如果直线l上的所有点都在平面α 内， 就说直线l在平面α 内，或者说平面α 经过 直线l，否则，就说直线l在平面α 外. 那么 “直线l在平面α 内”，“直线l在平面α 外”， 用集合符号可怎样表示？
l ,l
探究（二）：平面的基本性质1
思考1:如果直线l与平面α 有一个公共 点P，那么直线l是否在平面α 内? 思考2:如图，设直线l与平面α 有一个 公共点A，点B为直线l上另一个点，当 点B逐渐与平面α 靠近时，直线l上其余 各点与平面α 的位置关系如何变化？
公理2 过不在一条直线上的三点,有 且只有一个平面. ．
B
．
A
． C
思考4:公理2可简述为“不共线的三点确 定一个平面”， 它有什么理论作用？
有且只有一个的含义:
“有”
“只有一个”
说明图形是存在的！
说明图形是唯一的！
知识探究（四）:平面的基本性质3
思考1:如图，把三角板的一个角立在 课桌面上，三角板所在的平面与桌面 所在的平面是否只相交于一点B？为什 么？ 思考2:如果两条不重合 B 的直线有公共点，则其 公共点只有一个.如果两个不重合的平面 有公共点，其公共点有多少个？这些公 共点的位置关系如何？
B
α
A
A
．
A l , B l , 且A , B l
思考3:如图，当点A、B落在平面α 内时， 直线l上其余各点与平面α 的位置关系 如何？由此可得什么结论？
α 公理1 如果一条直线上的两点在一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 面内,那么这条直线在此平面内.
思考4：公理1如何用符号语言表述？ 它有什么理论作用？
B
把三角板的一个角立在课桌面上，三角 板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一 点B ？为什么？

B
天花板
墙面 墙面
天花板 P
墙面
墙面
观察长方体，你能发现长方体的两个相交 平面有没有公共直线吗？
D
A
C
B
这条公共直线B’C’叫做这两个平 面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交线． 另一方面，相邻两个平面有 一个公共点，如平面A’B’C’D’和 平面BB’C’C有一个公共点B’，经 过点B有且只有一条过该点的公 共直线B’C’.
3、平面的表示法
α 平面α
A
A D
ß
平面 ß
B
C
B
C
平面ABC
平面AC或平面BD
思考7:直线和平面都可以看成点的集合. 那么“点P在直线l上”,“点A在平面α 内”，用集合符号可怎样表示？
P l, A
“点P在直线l外”,“点A在平面α 外” 用集合符号可怎样表示？
P l, A
点评：几何里的平面的特征:
1.无限延展
2.不计大小
（没有边界）
（无所谓面积）
3.不计厚薄
（没有质量）
思考4:我们不可能把一条直线或一个平 面全部画在纸上，在作图时通常用一条 线段表示直线，你认为用一个什么图形 表示平面比较合适？ 怎样画才能呈现 更强的立体感呢?
平面的画法:
(1)通常用平行四边形表示,有时也可根据需要用其 它平面图形表示,如:矩形;菱形;三角形;圆(椭圆)等;
D
C
A B
思考3:根据上述分析可得什么结论？


P
l
公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线.
思考4:若两个平面有一条公共直线， 则称这两个平面相交，这条公共直线 叫做这两个平面的交线.平面α 与平面 β 相交于直线l，可记作 l ，那么 公理3用符号语言可怎样表述?
A
B
a C
推论2: 经过两条相交直线,有且只 有一个平面.
B b a A
推论3: 经过两条平行直线,有且只 有一个平面.
A B a C
知识小结
实例引 入平面 平面的画 法和表示 点和平面的 位置关系 平面三 个公理 及推论
空间图形
文字叙述
符号表示