成本最小化

三、规模报酬和成本函数
1、在规模报酬不变的情况下，成本是产量的线性函数。 在规模报酬不变的情况下，成本是产量的线性函数。 即如果生产1单位产量的最小成本是C(W ,1)， 即如果生产1单位产量的最小成本是C(W1,W2,1)，则生 单位产量的最小成本是C(W 产Y单位产量的最小成本是C(W1,W2,1)·Y。 2、在规模报酬递增的条件下，成本的增长幅度小于产 在规模报酬递增的条件下， 量的增长幅度。如果厂商决定使产量翻一倍， 量的增长幅度。如果厂商决定使产量翻一倍，只要要 素的价格不变，厂商成本的增长将小于1 素的价格不变，厂商成本的增长将小于1倍。即成本函 数的增长线性地小于产量增长。 数的增长线性地小于产量增长。 在规模报酬递减的条件下， 3、在规模报酬递减的条件下，成本的增长幅度大于产 量的增长幅度。 量的增长幅度。即成本函数的增长线性地大于产量的 增长。 增长。
第20章 成本最小化 20章
本章主要研究的内容
最大利润化策略分为两个步骤：第一步， 最大利润化策略分为两个步骤：第一步，选择 最有利可图（带来最大利润）的产量；第二步， 最有利可图（带来最大利润）的产量；第二步， 对既定的产量实现成本最小化。 对既定的产量实现成本最小化。 如何选择带来最大利润的产量：MR=MC;以及带 如何选择带来最大利润的产量：MR=MC;以及带 来该利润最优的要素投入量： 来该利润最优的要素投入量：MP1=W1/P 如何对既定的产量实现成本最小， 如何对既定的产量实现成本最小，即厂商要如 何找到实现既定产量最经济的途径， 何找到实现既定产量最经济的途径，也即厂商 如何选择最优的要素投入决策。 如何选择最优的要素投入决策。 ——这是我们 这是我们 今天考察的内容。 今天考察的内容。
利用图形求最小成本
寻找实现产量为Y的带来最低成本的要素组合。 寻找实现产量为Y的带来最低成本的要素组合。 在每个要素组合点，该点带来的成本都可以表示为： 在每个要素组合点，该点带来的成本都可以表示为： X1W1+X2W2=C X2 最小成本 即：X2=C/W2-W1/W2·X1
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实现最小成本 这就是等成本曲线。 这就是等成本曲线。 的要素组合 斜率为： 斜率为：-W1/W2 X2 * Y 纵截距为： 纵截距为：C/W2 -W1/W2 O X1 X1 * 最小化问题： 最小化问题： 在等产量曲线上寻找位于最低等成本曲线上的点。 在等产量曲线上寻找位于最低等成本曲线上的点。
长期成本函数： 长期成本函数：表示在一切生产要素都可以自由调整 的情况下，生产既定产量时的最小成本和产量的关系。 的情况下，生产既定产量时的最小成本和产量的关系。 该函数表示为： Cs（ 该函数表示为： Cs（Y）=min X1W1+X2W2 使得： 使得： f(X1,X2)=Y 由于两种要素都可以变动， 由于两种要素都可以变动，长期成本仅与既定要素价 格下的产量有关。 格下的产量有关。 求得： 求得： X1=X1(W1,W2,Y); X2=X2(W1,W2,Y) C（Y）=W1X1(W1,W2,Y)+W2X2(W1,W2,Y) 最小成本就是厂商利用成本最小化的要素选择所产生 的成本。 的成本。
有条件的要素需求函数
,Y)和 X1(W1,W2,Y)和X1(W1,W2,Y) 它度量的是厂商生产某个既定产量Y的条件下， 它度量的是厂商生产某个既定产量Y的条件下， 价格、 价格、产量以及厂商的最优要素选择之间的关 系。
二、显示的成本最小化
如果厂商总是选择成本最小化的方法生产Y 如果厂商总是选择成本最小化的方法生产Y 单位的产量，那么， 期和在s 单位的产量，那么，在t期和在s期的选择 必须满足下述等式： 必须满足下述等式： t t t t t s t s X1 W1 +X2 W2 ≦ X1 W1 +X2 W2 s s s s s s s s X1 W1 +X2 W2 ≦ X1 W1 +X2 W2 这些不等式被称作成本最小化的弱公理。 这些不等式被称作成本最小化的弱公理。
四、长期成本和短期成本
短期成本函数：只有可变要素可以调整的情况下， 短期成本函数：只有可变要素可以调整的情况下，生产 既定产量时的最小成本与产量的关系。假定要素2短期是 既定产量时的最小成本与产量的关系。假定要素2短期是 固定的，则该函数为： 固定的，则该函数为： Cs（ Cs（Y,X2）=min X1W1+X2W2 使得： 使得： f(X1,X2)=Y 因此，在短期内，生产产量为Y 因此，在短期内，生产产量为Y的最小成本取决于不变要 素的投入量和要素的价格。 素的投入量和要素的价格。 求得： 求得： X1=X1s(W1,W2,X2,Y); X2=X2 在短期内，在任何既定价格和产量下， 即：在短期内，在任何既定价格和产量下，变动要素的 投入量取决于固定要素的投入量 Cs（Y,X2）=W1X1s(W1,W2,X2,Y)+W2X2 Cs（ 即最小成本就是与成本最小化的要素选择有关的成本。 即最小成本就是与成本最小化的要素选择有关的成本。
长期成本和短期成本的关系
由于使企业长期最低成本的要素需求函数为： 由于使企业长期最低成本的要素需求函数为： X1=X1(W1,W2,Y)=X1(Y); X2=X2(W1,W2,Y)=X2(Y) 因此，长期成本函数可以记为： 因此，长期成本函数可以记为： Cs（Y,X (Y)）=Cs（Y,X C（Y）= Cs（Y,X2(Y)）=Cs（Y,X2） 在所有要素都可以变动时的最小成本， 即：在所有要素都可以变动时的最小成本，恰好等于要 固定在使长期成本最小化的水平时的最小成本。 素2固定在使长期成本最小化的水平时的最小成本。 因此，可变要素的长期需求可以表示为： 因此，可变要素的长期需求可以表示为： X1(W1,W2,Y)= X1s(W1,W2,X2(Y),Y) 在长期内， 即：在长期内，使成本最小化的可变要素的使用量就是 厂商在短期内所选择的使用量。 厂商在短期内所选择的使用量。
一、成本最小化
假设存在两种生产要素X 价格分别为W 假设存在两种生产要素X1和X2，价格分别为W1 厂商的生产函数为f(X 现在， 和W2，厂商的生产函数为f(X1,X2)。现在，我 们要找到实现产量Y最经济的途径，即：使企 们要找到实现产量Y最经济的途径， 业生产Y的成本最小， 业生产Y的成本最小，这个问题用数学可以表 达为： 达为： min X1W1+X2W2 S.T f(X1,X2)=Y 为实现合宜的产量水平而必须的最小成本—— 为实现合宜的产量水平而必须的最小成本 取决于W 的值。记作C(W ,Y)。 取决于W1、W2和Y的值。记作C(W1,W2,Y)。这个 函数被称作成本函数。 函数被称作成本函数。他度量的是当要素价格 生产Y单位产量的最小成本。 为W1和W2时，生产Y单位产量的最小成本。
假设企业的生产函数为f(X 例2：假设企业的生产函数为f(X1,X2)=X1+X2， 企业面临的要素价格为(W 企业面临的要素价格为(W1,W2)，厂商的最小成本 原则是使用相对较便宜的要素。 原则是使用相对较便宜的要素。厂商的最小成本 Y}。 是：C(W1,W2,Y)=min{W1Y,W2Y}。 假设企业的生产函数为f(X 例3：假设企业的生产函数为f(X1,X2)={X1,X2}， 当厂商要生产的产量为Y 他就需要Y单位的X 当厂商要生产的产量为Y时，他就需要Y单位的X1 单位的X 因此，最小成本为： 和Y单位的X2。因此，最小成本为： C(W1,W2,Y)=W1Y+W2Y
五、不变成本和准不变成本
不变成本是指：与不变要素相关的成本， 不变成本是指：与不变要素相关的成本，它与 产量无关。这种成本， 产量无关。这种成本，无论厂商是否生产都必 须支付这种成本。 须支付这种成本。 准不变成本是指：与产量无关的成本， 准不变成本是指：与产量无关的成本，但只有 生产才支付的成本。 生产才支付的成本。 在长期内，不存在不变成本。 在长期内，不存在不变成本。但容易产生准不 变成本。 变成本。
以上结论可以用平均成本函数的变化来说明。 以上结论可以用平均成本函数的变化来说明。 AC(Y)= C(W1,W2,Y)/Y 如果规模报酬不变， 如果规模报酬不变，则 AC(Y)= C(W1,W2,1)Y/Y= C(W1,W2,1) 如果规模报酬递增，则随着产量的增加， 如果规模报酬递增，则随着产量的增加，平均 成本将趋于下降。 成本将趋于下降。 如果规模报酬递减，则随着产量的增加， 如果规模报酬递减，则随着产量的增加，平均 产量将趋于下降。 产量将趋于下降。 该结论表明， 该结论表明，平均成本函数在不同的产量水平 上可能会递减、不变或递增。 上可能会递减、不变或递增。 由于企业面临的价格是既定的， 由于企业面临的价格是既定的，成本只取决于 厂商对产量的选择， C(Y)。 厂商对产量的选择，即C(Y)。
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成本最小化的条件
如果每一种要素都要求使用一定的数量，并且， 如果每一种要素都要求使用一定的数量，并且， 等产量曲线是一条光滑的曲线，那么， 等产量曲线是一条光滑的曲线，那么，最小成 本化的点就可以用相切的条件来表征： 本化的点就可以用相切的条件来表征：等产量 曲线的斜率必定等于等成本线的斜率。 曲线的斜率必定等于等成本线的斜率。即技术 替代率必定等于要素的价格比率： 替代率必定等于要素的价格比率： -MP1/MP2=-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1/W2 如果是角点解或者等产量曲线是折拗的， 注:如果是角点解或者等产量曲线是折拗的， 那么相切条件就不需要得到满足， 那么相切条件就不需要得到满足，这同消费理 论相似。 论相似。
利用代数方法求最小成本条件
如果要保持产量不变， 如果要保持产量不变，则生产方式的任意改变必 须满足： … ⑴ 须满足： △X1·MP1+△X2·MP2=0 即：△X1和△X2一定具有相反的符号 如果我们最初处在成本最小化的点上，那么， 如果我们最初处在成本最小化的点上，那么，这 种变动就不可能降低成本， 种变动就不可能降低成本，即：△X1W1+△X2W2≧0 而如果变动为( 也不可能降低成本， 而如果变动为(-△X1,-△X2)，也不可能降低成本， 因此， 因此，-△X1W1-△X2W2≧0 所以： 所以： △X1W1+△X2W2=0 0
… ⑵
根据⑴和⑵得到：△X2/△X1=-MP1/MP2=-W1/W2 得到：
根据成本函数和生产函数求最小成本。 根据成本函数和生产函数求最小成本。
某个企业的生产函数为: 例1：某个企业的生产函数为: 要素1的价格是1 f(X1,X2)=(X11/2+3X21/2)2，要素1的价格是1，要 的价格是1 求生产16单位产品的最小成本。 16单位产品的最小成本 素2的价格是1，求生产16单位产品的最小成本。 解： min X1+X2 … ⑴ S.T (X11/2+3X21/2)2=16 方法一： 代替， 方法一：将X2用X1代替，转化成一元方程 方法二：利用得出: 方法二：利用-MP1/MP2=-W1/W2，得出: … ⑵ (1/3)(X -(1/3)(X1/X2)1/2= -1 得到： =144/100， 联立⑴和⑵得到：X2=9X1=144/100，C=160/100