第一章n阶行列式

第一章 n 阶行列式

§1.2 排列及其逆序数

1．排列：n 个依次排列的元素．

例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种． 1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243 2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143 3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142 4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132

例1 互异元素n p p p ,,,21 构成的不同排列有!n 种． 解 在n 个元素中选取1个 n 种取法 在剩余1-n 个元素中选取1个 1-n 种取法 在剩余2-n 个元素中选取1个 2-n 种取法 ……………… ………… 在剩余2个元素中选取1个 2种取法 在剩余1个元素中选取1个 1种取法 ------------------ 总共!n 种取法

2．标准排列：n 个不同的自然数从小到大构成的排列．

n 个不同的元素按照某种约定次序构成的排列． 3．逆序数：

(1) 某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素） 之间有1个逆序．

(2) 排列n p p p 21中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作)(21n p p p τ． 算法：固定),,2(n i =, 当i j <时,

满足i j p p >的“j p ”的个数记作i τ（称为i p 的逆序数）, 那么)(21n p p p τn ττ++= 2．

例2 排列6372451中, 1462230172=+++++=++=τττ ． 例3 排列42)22)(2)(12(13 --n n n , 求逆序数．

解 记作n n n n n p p p p p p p 2122121-++ 02=τ, 0,1=+n τ

1222⨯==+n τ, 2243⨯==+n τ, …, )1(22-⨯=n n τ )1()]1(21[2-=-+++=n n n τ 4．奇偶性：排列n p p p 21

=)(21n p p p τ奇数时, 称为奇排列； =)(21n p p p τ偶数时, 称为偶排列． 5．对换：

相邻对换：n i i n i i p p p p p p p p 1111++→

一般对换：n i j n j i p p p p p p p p 11→ )(j i <

定理1 排列经过1次对换, 其奇偶性改变． 证 先证相邻对换：(1) m l b b b a a a 11 (2) m l b b a b a a 11

b a <：对换后a τ增加1, b τ不变, 故112+=t t ； b a >：对换后a τ不变, b τ减少1, 故112-=t t ． 所以2t 与1t 的奇偶性相反．

再证一般对换：(1) n m l c c b b b a a a 111 (2) n m l c c b a b b a a 111 (3) n m l c c a b b b a a 111 (1)→(2)经过m 次相邻对换 (2)→(3)经过1+m 次相邻对换

(1)→(3)经过12+m 次相邻对换, 所以3t 与1t 的奇偶性相反．

推论 奇排列→标准排列, 对换次数为奇数． 偶排列→标准排列, 对换次数为偶数．

§1.3 n 阶行列式的定义 1．二阶：

2112221122211211a a a a a a a a -=

2．三阶： 32211331231233221133

32

31

232221

131211

a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=

312213332112322311a a a a a a a a a --- (1) 乘积中三个数不同行、不同列：3

2

1

321p p p a a a ±

行标(第1个下标)：标准排列 123

列标(第2个下标)：321p p p 是1,2,3的某个排列(共6种) (2) 正项：123, 231, 312为偶排列 负项：132, 213, 321为奇排列

于是 321321321)

(33

32

31

232221

131211

)

1(p p p p p p a a a a a a a a a a a a ∑-=τ

, )(321p p p ττ=．

3．n 阶：2n 个数),,2,1,(n j i a ij =, 称

nn

n n n n a a a a a a a a a D

2

1

2222111211

=

为n 阶行列式, 它表示数值

n n np p p p p p a a a 212121)

()

1(∑-τ

, )(21n p p p ττ=

其中, 求和式中共有!n 项．

例3 计算nn

n n a a a a a a D

222

112111=, 1

1

,22111,111

2n n n

n a a a a a a D

--=

.

解 1D 中只有一项nn a a a 2211不显含0, 且列标构成排列的逆序数为 0)12(=n τ, 故nn nn a a a a a a D 221122111)1(=-=τ．

2D 中只有一项11,21n n n a a a -不显含0, 且列标构成排列的逆序数为

2

)

1()1(21)21(-=

-+++=n n n n τ

故11,212

)

1(11,212)

1()1(n n n n n n n n a a a a a a D ----=-=τ

．

结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素 的乘积．

以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素

的乘积, 并冠以符号2

)

1()1(--n n ．

特例：

n n

λλλλλλ

212

1

=，

n n n n

λλλλλλ

212

)

1(2

1

)

1(--=

定理2 n q q q q q q q q q nn

n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D

21)

()

(2

1

2222111211

212121)

1(∑-=

=

τ (2)

证 由定义知 n n n np p p p p p p p p a a a D 21212121)

()

()

1(∑-=

τ (1)

先证(2)中的项都是(1)中的项：交换乘积次序可得

n n n n

np p p q q q n q q q q q

q a a a a a a 2121212121)

(21)

()

1()

1(ττ-=- (3)