《对偶原理》PPT课件

中一个问题有可行解，但目标函数无界，则另一个
问题无可行解.
注：推论2不存在逆.
推论3：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题 有可行解，而另一个无可行解，则该问题无界.
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定理3(最优性判别定理) 若X*和Y*分别是问题(P)和(D)的可行解，且
CX*=Y*b， 则X*，Y*分别是问题(P)和(D)的最优解.
故 CXYb ，弱对偶定理成立。
且由推论1知，对偶问题目标函数W的下界为10，
原问题目标函数Z的上界为40。
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例：利用对偶性质判断下面问题有无最优解
m ax Z x1 2 x2
s.t.
x1 x2 x3 2 2x1 x2 3x3 1
x j 0( j 1, 2, 3)
证明：对于问题（P）的任意一个可行解X ，必有 CX≤Y*b
但 CX*=Y*b ， 故对原问题（P）的所有可行解X，有
CX≤CX* 所以，X*为原问题（P）的最优解。 同理可证Y*是对偶问题（D）的最优解。
§2.2 对偶原理
对偶原理给出了原问题和对偶问题之间的重要关系.
为了讨论问题方便我们以“对称型对偶问题”来进 行研究和证明，当然所有这些结论对于其它形式的 对偶问题也同样成立。
max Z CX
(P)
s.t.
AX X 0
b
minW Yb (D) s.t.YYA0C
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1
定理1（对称性定理）对偶问题的对偶是原问题.
由（3）和（4）式可知
YA C
CXYAXYb 证毕. 精选课件ppt
(D) s.t.Y 0 5
由弱对偶性，有下面推论：
CX Yb
推论1：若 X0 和Y0 分别是问题(P)和(D)的可行解，则 （1） CX0是问题(D)的目标函数的一个下界； （2） Y0 b是问题(P)的目标函数的一个上界。
推论2：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题有 可行解，但目标函数无界，则另一个问题无可行解.
由观察可知 X(0,0,0)T 是原问题的一个可行解。
因 y1,y2 0 而其对偶问题的第一个约束条件
y12y21
不能成立，因此对偶问题不可行。故由推论3知原
问题无界。
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定理3 (最优性判别定理) 若X*和Y*分别是问题(P)和(D)的可行解，且 CX*=Y*b，
则X*，Y*分别是问题(P)和(D)的最优解.
试估计它的目标函数值的界,并验证弱对偶定理.
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maxZx1 2x2 3x3 4x4
解：
s.t.
问题(LP)的对偶问题(DP)为
x12x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20 xj 0(j 1,2,3,4)
m in W 2 0 y1 2 0 y2
(DP)
y1 2 y2 1
定理4（对偶定理） 若一对对偶问题（P）和（D）一个有最优解，则 另一个也有最优解，且目标函数的最优值必相等.
定理5（互补松弛定理）
设 X* 和Y* 分别是问题（P）和（D）的可行解， 则它们分别是最优解的充要条件是 同时成立：
Y * X S 0
Y S
X
*
0
Y *(b AX* ) 0
(Y
s
.t
.
Hale Waihona Puke Baidu2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3
3 y1 2 y2 4
y 1 , y 2 0
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max Z x1 2x2 _ 3x3 4x4
解： 由观察可知
s.t.
x1 2x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20
xj 0( j 1, 2,3, 4)
maxW (bT )YT
s.t.
(AT
Y
T
)Y T 0
CT
min z' (X TCT )
即
s.t.X X
T T
(AT 0
)
bT
max Z CX
AX b
s
.t
.
X
0
精选课件这ppt就是原问题(P),证毕. 4
定理2（弱对偶定理） 设 X 和 Y 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有
CX Yb
注：推论2不存在逆.
推论3：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题 有可行解，而另一个无可行解，则该问题无界.
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例 已知原问题(LP)，
maxZx1 2x2 3x3 4x4
s.t.
x12x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20
xj 0(j 1,2,3,4)
*
A
C)X*
0
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根据这一定理，在一对对偶问题中，我们可以把其 中任何一个称为原问题，则另一个就是其对偶问题.
定理1（对称性定理）对偶问题的对偶是原问题.
证明：对于问题（D）
记对偶变量为XT，
minW Yb
则(D)’的对偶规划为
YA C (D) s.t.Y 0
将问题(D)改写对称形 式(D)’ ：
证明：因 X 是问题(P)的可行解，故必有
A Xb ;X0
(1 )
同理,由于 Y 是问题(D) 的可行解，故必有
Y AC ;Y0
(2)
用 Y 左乘不等式（1）两边得 max Z CX
AX b
Y A XY b
(3) (P)
用 X 右乘不等式（2）两边得
s.t.
X
0
Y A XC X
(4) minW Yb
X(1,1,1,1)T,Y(1,1)
m in W 2 0 y1 2 0 y2
分别是原问题和对偶问题的可行解。
且原问题的目标函数值为
ZCX10
s
.t
.
对偶问题的目标函数值为
WYb40
y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1, y2 0
定理2（弱对偶定理） 设 X 和 Y 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有
CX Yb
推论1：若 X0 和Y0 分别是问题(P)和(D)的可行解，则 （1） CX0是问题(D)的目标函数的一个下界； （2） Y0 b是问题(P)的目标函数的一个上界。
推论2(无界性)：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其
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解：此问题的对偶问题为 m ax Z x1 2 x2
m in W 2 y1 y2
y1 2 y2 1
s
.t
.
y1 y2 2 y1 3 y2 0
s.t
.
y 1 , y 2 0
x1 x2 x3 2 2x1 x2 3x3 1 x j 0( j 1, 2, 3)