钢结构基本原理第4章 轴心受力构件

2 EI 2 EA N cr l 2 2
cr
2E 2
上述推导过程中，假定E为常量（材料满足虎克定 律），所以σcr不应大于材料的比例极限fp，即：
cr
2E 2
fp
或长细比:
p
E fP
扭转失稳怎样分析？
针对可能的扭转变形，建立齐次平衡微分 方程，根据边界条件和非零解要求，可得到扭 转屈曲临界力。
取n 1，得：kl 即：k 2 2 l 2
Ncr Ncr
因：k 2
N cr
2
EI 1 N cr l 2
GA
故，临界力N cr：
2 EI
1
N cr l 2 2 EI
1
l 2 GA
临界应力 cr：
cr
N cr A
2E
1
2
1
2 EA
2
GA
(4 (4
通常剪切变形的影响较小，可忽略不计，即得欧 拉临界力和临界应力：
dx 2 dx 2 dx 2
EI GA dx 2
由于M N cr y，得：
d2y
N cr
y
N cr
d2y
dx 2
EI
GA dx 2
即：
y1
N cr
GA
N cr EI
y
0
令k 2
N cr
，则：
EI1 N cr
GA
y k 2 y 0
对于常系数线形二阶齐次方程： y k 2 y 0
轴旋转，杆纵轴由直线变为曲线，是双轴对称截面常见 的失稳形式；
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（2）扭转失稳--失稳时除杆件的支撑端外，各截面
均绕纵轴扭转，是某些双轴对称截面可能发生的失稳形 式；
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（3）弯扭失稳—单轴对称截面绕对称轴屈曲时，杆
件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转。
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2.轴心受压杆件的弹性屈曲
N
N
A 稳 定 平F 衡 状 态
B 随 遇 平F 衡 状 态
l
N
N
Ncr Ncr C 临 界 状F 态
Ncr
下面推导弯曲屈曲临界力Ncr
设M作用下引起的变形为y1，剪力作用下引起的变形为 y2，总变形y=y1+y2。
由材料力学知：
Ncr
d 2 y1 M
dx 2
EI
剪力V产生的轴线转角为：
y y1 y2
弯扭失稳怎样分析？
针对可能的弯曲和扭转变形，建立齐次平 衡微分方程组，根据边界条件和非零解要求， 可得到弯扭屈曲临界力。
3.轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲
当σcr大于fp后σ-ε
Ncr,r
曲线为非线性,σcr难 σ
以确定。
σcr
历史上有两种 fp
理论来解决该问题，
dσ dε
Et
d d
l
即：
x
E
dσ2
N cr,r
2
EI1 Et I 2 l2
2 Er l2
I
Er 折算模量，Er EI1 Et I 2 I
(2)切线模量理论
中和轴
Ncr,r
假定:
A、达到临界力Ncr,t时杆件 挺直;
σcr,t
l
B、杆微弯时,轴心力增加 △N，其产生的平均压
x
应力与弯曲拉应力相等。
y
Ncr,r
所以应力、应变全截面增加，无退降区，切线模量
形心轴 中和轴
dσ1
σcr
(1)双模量理论 0 1
ε
y
Ncr,r
该理论认为，轴压构件在微弯的中性平衡时，截面平均应力
(σcr)要叠加上弯曲应力，弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量 Et规律（分布图形为曲线），由于是微弯，故其数值较σcr小得 多，可近似取直线。而弯曲受拉一侧应力发生退降,且应力退降
遵循弹性规律。又因为E>Et，且弯曲拉、压应力平衡，所以中 和轴向受拉一侧移动。
第四章
本章提要
1.概述：应用和截面形式 2.强度和刚度计算
3.轴压构件整体稳定分析 4.轴压构件局部稳定分析
5.轴压构件设计：实腹式、格构式
4.1 概 述
一、轴心受力构件的应用、特点及破坏形式
2.网架
3.塔架
1.桁架
4.轴心受压柱 单击图片4-1播放
实腹式轴压柱与格构式轴压柱
二、轴心受压构件的截面形式 截面形式可分为：实腹式和格构式两大类。
Et通用于全截面。由于△N较Ncr,t小得多，近似取Ncr,t作 为临界力。因此以Et替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E，即得该理论的临界力和临界应力：
l
dy2 V dM
dx GA GA dx
Ncr
M=Ncr·y
A、I 杆件截面积和惯性矩；
x
E、G 材料弹性模量和剪变模量；
与截面形状有关的系数。
Ncr
Ncr
因为： d 2 y2 d 2M
dx 2 GA dx 2
所以： d 2 y d 2 y1 d 2 y2 M d 2 M
(4 1)
An
N—轴心拉力或压力设计值；
An—构件的净截面面积； f—钢材的抗拉强度设计值。
轴心受压 构件，当 截面无削 弱时，强 度不必计 算。
二、刚度计算（正常使用极限状态）
保证构件在运输、安装、使用时不会产生过大 变形。
max (l0 / i)max []
l0 构 件 的 计 算 长 度i；
1、型钢肢件通过缀材连接而成。
4.2 轴心受力构件的强度和刚度
轴 心
强度 （承载能力极限状态） 轴心受拉构件 刚度 （正常使用极限状态）
受 力 构
强度 （承载能力极限状态） 轴心受压构件 稳定
件
刚度 （正常使用极限状态）
一、强度计算（承载能力极限状态）
N f
I 截面的回转半径； A
[] 构件的容许长细比，其取值详见规范或教材。
习题：4.1 双角钢拉杆验算
4.3 轴心受压构件的整体稳定
一、轴压构件整体稳定的基本理论
1、轴心受压构件的失稳形式 理想的轴心受压构件(杆件挺直、荷载无偏心、无
初始应力、无初弯曲、无初偏心、截面均匀等）的 失稳形式分为：
（1）弯曲失稳--只发生弯曲变形，截面只绕一个主
令： I1为弯曲受拉一侧截面（退降 Ncr,r 区）对中和轴的惯性矩；
形心轴 中和轴
σcr
l
dσ1
I2为弯曲受压一侧截面对中 和轴的惯性矩；
dσ2
且忽略剪切变形的影响，由
x
内、外弯矩平衡得：
EI1 Et I2 y N y
y
Ncr,r
解此微分方程，即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹
塑性临界力：
其通解为： y Asin kx B cos kx
引入边界条件：x 0，y 0，得B 0，从而：
y Asin kx
Ncr
再引入边界条件：x l，y 0，得：
Asin kl 0
y
解上式，得：
y1 y2
Ncr
A 0 不符合杆件微弯的前提
M=Ncr·y
l
条件，舍去。
x
sin kl 0 kl n（n 1，2，3 ）