测量结果及其不确定度的有效位数

测量结果及其不确定度的有效位数

张春滨

（航天科技集团公司第一计量测试研究所，北京，100076）

摘要校准证书及检测报告上的校准结果或检测结果均给出了测量结果的不确定度，并通过大量的实例，介绍了测量结果及其不确定度的有效位数，对不同情况下，与此相关的一些问题进行了讨论。

关键词测量误差，有效数字，修约。

The Significant Figure of the Measurement Result

and Its Uncertainty

Zhang Chunbin

(The First Research Institute for Measurement and Test of CASA,Beijing,100076)

Abstract The uncertainty of the result of a calibration or a testing is given in the certificate of calibration and calibration result or test result in the testing report. With many examples, this paper introduces the significant figures in the result of a measurement and its uncertainty. Some problems correlated with the significant figure are also discussed in different conditions.

Key Words Measurement error, Significant figure, Round off.

1 引言

校准证书及检测报告上的校准结果或检测结果均给出了测量结果的不确定度，测量结果的报告应尽量详细，以便使用者可以正确地利用测量结果。完整的测量结果至少含有两个基本量：一是被测量的最佳估计值，在很多情况下，测量结果是在重复观测的条件下确定的。二是描述该测量结果分散性的量，即测量结果不确定度。报告测量结果的不确定度有合成标准不确定度和扩展不确定度两种方式。在报告与表示测量结果及其不确定度时，对两者数值的位数，技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》做出了相应的规定。

2 测量结果不确定度的有效位数

2.1 技术规范的规定

根据技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》的规定，估计值y的数值和它的标准不确定度u c(y)或扩展不确定度U的数值都不应该给出过多的位数。通常u c(y)和U 以及输入估计值x i的标准不确定度u(x i)最多为两位有效数字。虽然在计算测量结果不确定度的过程中，中间结果的有效位数可保留多位，即在报告最终测量结果时，u c(y)和U取一位或两位均可，两位以上是不允许的。

2.2 测量结果不确定度的修约

测量结果不确定度应按国家标准GB3101-1993《有关量、单位和符号的一般原则》的规定进行修约，使测量结果不确定度有效数字的位数为一位或两位。

例如：一频率测量结果的标准不确定度为u (x i)= 28.05 kHz，要求保留两位有效数字，经修约后为28 kHz。

测量结果的不确定度不允许进行连续修约。即测量结果的不确定度应经一次修约后得到，而不应该经多次修约后得到。

例如：U = 0.145 5℃，要求保留一位有效数字时，应为：U = 0.145 5℃= 0.1℃，而不应为：U = 0.145 5℃= 0.146 ℃= 0.15℃= 0.2℃。可见，在本例中，由于连续修约造成最终

结果的误差为100%，这是不允许的。

2.3 测量结果不确定度有效位数的合理选择

技术规范中规定，在通常情况下，u c(y)和U最多为两位有效数字。但保留一位有效数字时，可能导致很大修约误差，特别是当第1位有效数字较小时。

例如：经计算一温度测量结果的不确定度为0.149℃，将其修约到一位有效数字时，测量结果不确定度为0.1℃，由修约引起的误差为-0.04 9℃，是测量结果不确定度的49%，对评定测量结果的质量影响很大。

这可能导致在某一条件下对某量进行测量时，本不满足测量技术要求的测量仪表，因测量结果不确定度的修约误差，造成计算出的测量结果不确定度达到预定技术要求的假象，对该测量工程将产生很大的损失。

也可能导致在某一条件下对某量进行测量时，本应满足测量技术要求的测量仪表，因测量结果不确定度的修约误差，使计算出的测量结果不确定度达不到预定的技术要求，需要选择更高准确度等级的测量仪表，加大了测量设备成本的投入。

若将测量结果的不确定度修约到两位有效数字，测量结果的不确定度为0.15 ℃，由修约引起的误差为0.001 ℃，是测量结果不确定度的1%，对评定测量结果质量的影响可以忽略不计。

当修约前测量结果不确定度的第1位数字增大时，由修约引起的误差对测量结果不确定度的影响将减小。

例如：用一测温仪表测量某一物体的温度，计算出其测量结果的不确定度为0.249℃，将其修约到一位有效数字时，测量结果的不确定度为0.2℃，由修约引起的误差为-0.049℃，是测量结果不确定度的24%。若测量结果的不确定度为0.349℃，将其修约到一位有效数字时，测量结果的不确定度为0.3 ℃，由修约引起的误差为-0.049 ℃，仅是测量结果不确定度的16%，即小于测量结果不确定度的1/5，从误差理论上讲可忽略不计。

因此，当修约前第1位有效数字为1或2时，测量结果的不确定度应取两位有效数字。3或以上时，可用一位或两位有效数字。

以上所讨论的是测量结果的不确定度可准确评定时的情况，即只考虑由修约引起的误差对测量结果不确定度的影响。在现有的技术条件下，测量结果的不确定度难以准确地进行评定时，虽然其第1位有效数字可能较小，但是测量结果的不确定度取一位有效数字仍然是合理的。

2.4 中间结果的有效位数

在计算测量结果不确定度的过程中，中间结果的有效位数可保留多位。例如：一测温仪表检定结果的不确定度是由两部分组成的：一是标准器引入的标准不确定度分量u1；二是测温仪表重复性引入的标准不确定度分量u2。要求最终检定结果的合成标准不确定度取一位有效数字。假设经计算：

u1 = 0.149 ℃ u2 = 0.249 ℃

方法1：各分量互不相关，u1， u2不修约，采用方和根法直接计算检定结果的合成标准不确定度。

方法2：若将u1， u2修约到一位有效数字时，标准不确定度为

u1 = 0.1 ℃ u2 = 0.2 ℃

检定结果的合成标准不确定度为

由修约引起的误差为-0.1 ℃，是检定结果不确定度的50%。

方法3：若将u1， u2修约到两位有效数字时，标准不确定度为

u1 = 0.15 ℃ u2 = 0.25 ℃

检定结果的合成标准不确定度为