多元复合函数的求导

(1) 函数可微 (2) 函数可微
偏导数存在 偏导数连续 函数连续
多元复合函数的求导法则 1、一元函数与多元函数复合的情形 2、多元函数与多元函数复合的情形 3、其他情形
1、一元函数与多元函数复合的情形 （1）z f (u, v), u (t ), v (t )
d z z d u z dv d t u d t v d t ( 全导数公式 )
例2. 设
f 具有二阶连续偏导数,
2
w w 求 , . x x z
3、其他情形
函数 v ( y) 在点 y 可导, z f (u, v) 处有连续偏导, 则复合函数 在点( x , y ) 的两个偏导数都存在，且有
定理. 若函数
具有对 x 和 y 的偏导数，
z z u x u x
z f (u, v)
处有连续偏导, 则复合函数
在点 (x,y)的两个偏导数都存在, 且有
z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
u
x
y
z
v
类似地再推广，设u ( x , y ), v ( x , y ) , w w( x, y) 都在点( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数，函数 z f (u, v, w) 在对应点 (u , v, w) 具有连续偏导数，则复合函数
e x y [ y sin( x y ) cos(x y)]d x
所以
z z 例1 . z e sin v, u x y, v x y, 求 , . x y
u
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则 （1）“分道相加，连线相乘 ” 中间变量为 （2）设复合函数的因变量为 z ，
t
二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y 若 u , v就是 x y 自变量,则 z u z v ( )dy u y v y u u v v 的全微分为 ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
z z u z dv y u y v dy
u
x
y
z
v
在情形3中，还会遇到这样的情形：复合函数 的某些中间变量本身又是复合函数的自变量. 例如：设函数 z f (u, x, y), f 则复合函数 f u x u x z z u z z ( ) x u x x x z x y z f u f x u x x y
v
w
z f u f y u y y
例3. u f ( x, y, z ) e
u f 解: x x
2 xe
x2 y2 z 2
x2 y2 z 2
u u , z x sin y, 求 , x y
2
x
2z e
x2 y2 z 2
精品课件！
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z f ( ( x, y), ( x, y), w( x, y)) 在点( x , y ) 的两个偏导数都存
在，并且有
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
2 2
2 x sin y
4 2
u
y
x
y
2 x (1 2 x 2 sin 2 y ) e x
u f f z y y z y
y x sin y
z
2ye
x2 y2 z 2
4
2 z e
x 2 y 2 z 2 x 2 cos y x 2 y 2 x 4 sin 2 y
m z z u j j 1 xi u j xi
u j ( j 1,2, m)
，自变量为
xi (i 1,2, n) ，则
如果有一元函数，则 将 改成 d
2. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是中间变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
z
u v w
x
y
例1. 设
解:
z x
z z z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y
u
z v v x
eu sin v
z y
eu cos v 1
பைடு நூலகம்
z v v y eu cos v 1 eu sin v
（2） z f (u ), u ( x, y)
z u f (u) x x
z
z u
u
du dt dv dt
“分道相加，连线相乘
u x
u y
z v
v
t
z u ” f (u ) y y
z
f (u )
x
y
u
2、多元函数与多元函数复合的情形
定理. 若函数
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解:
u e d z d( sin v ) eu cos v dv
d (x y)
( yd x xd y)
d ( x y) (dx d y ) dy
2 ( y x sin y cos y ) e
dz 例4. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 d t . d z z du z u 解: d t u d t t t z
t
ve
t
t
cos t
v
e (cos t sin t ) cos t