圆的切线性质定理有哪些应用

圆的切线性质定理有哪些应用

圆的切线性质定理是“圆的切线垂直于过切点的半径”及其推论“经过圆心(或切点)且垂直于切线的直线必经过切点(或圆心)”.

于是，切线具有如下性质：

(1) 切线与圆只有一个公共点；

(2) 切线与圆心的距离等于圆的半径；

(3) 切线垂直于过切点的半径；

(4) 经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

(5) 经过切点垂直于切线的直线必过圆心.

从上述5条性质知道：性质(1)是切线的定义；性质(2)是切线判定方法的逆定理；性质⑶、(4)、(5)是切线性质定理及其推论，其中性质(2)、(3)应用较多.

在应用切线性质定理时，如果只有切线，没有半径，要添加辅助线一一就是连接过切点

的半径，则此半径必垂直于切线.

应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题.

(1) 利用切线性质计算线段的长度

例1:如图，已知：AB是O O的直径，P为延长线上的一点，PC切O O于C, CD±AB于D,又PC=4, O O的半径为3.求：OD的长.

解：连接OC •/ PC是O O的切线，

••• OCL PC,

•••△ OPC为直角三角形.

•/ PC=4 r=3 ,

• OP=5 又OC=OD・ OP 即卩 5 • OD=9

9

.\OD = -.

说明：遇到切点，连半径是圆中常用添线的方法.

(2) 利用切线性质计算角的度数

例2 :如图，已知：AB是O O的直径，CD切O 0于C, AEL CD于E, BC的延长线与AE 的延

长线交于F,且AF=BF.求：/ A的度数.

解：连接OC,T CD是O 0的切线，••• OC L CD.又AF L CD,「. AF// 0C,「./ A=Z BOC而OC=OB •••/ OCB2 B,「. AF=BF A=Z B,「./ BOC K B=Z OCB

B=60°,则/ A=60°

(3) 利用切线性质证明角相等

例3:如图，已知：AB为O O的直径，过A作弦AC AD,并延长与过B的切线交于M N.求证：/ MCN K MDN

证明：连接BD CD. T MN是O O的切线，• AB丄MN又AB是O O的直径，ADB=90 , •••在Rt △ ABN中，BD L AN于 D.

•••/ N=Z ABD=/ ACD

• C M N、D四点共圆，则/ MCN/ MDN

说明：禾U用四点共圆，也是证明两角相等的方法之一.

⑷利用切线性质证线段相等

例4:如图，已知：AB是O O直径，CC L AB CD切O O于D, AD交CO于E.求证：CD=CE

证明连接0D •/ CD是O 0的切线，••• ODLCD

•••/ CD曰/ ODA=90 .又COL AB

•••/ A+Z AEO=90 .

•/ AO=OD

• Z A=Z ODA •••/ CDE Z AEO Z CED

贝U CD=CE

(5)利用切线性质证两直线垂直

例5:如图，已知：△ ABC中，AB=AC以AB为直径作O Q 交BC于D, DE切O O于D, 交AC于E.求证：DEL AC.

证明：连接OD •/ DE是O O的切线.••• ODL DE ：OB=OD B=Z ODB 又T AB=AC • Z B=Z C, •••/ C=Z ODB

• OD// AC,贝U DEL AC.