平面几何的复数证法8

平面几何的复数证法

一．基本知识

㈠复数及其定义 ㈡复数的常用形式

1．代数形式：形如(),z a bi a b R =+∈； 2．三角形式：形如()()cos sin 0z r i r θθ=+≥；

3．指数形式：我们把i e θ称为复数cos sin z i θθ=+的指数形式。 ㈢复数的运算法则

1．复数的代数形式的运算法则 设i b a z 111+=，i b a z 222+=，其中的

R b b a a ∈2121,,,，则：⑴加减法法则：()()i b b a a z z 212121±+±=±；⑵乘法法则：()()i b a b a b b a a z z 2112212121++-=；⑶除法法则：

i b a b a b a b a b b a a z z 22

222

1122222212121+-+++=。 2．复数的三角形式的运算法则 ⑴乘法法则：模相乘，辐角相加，即

()()()()111222121212cos sin cos sin cos sin r i r i rr i θθθθθθθθ+⋅+=+++⎡⎤⎣⎦； ⑵除法法则：模相除，辐角相减，即

()()()()1111

12122222

cos sin cos sin cos sin r i r i r i r θθθθθθθθ+=-+-⎡⎤⎣⎦+； ⑶乘方法则：（棣莫佛公式）()()()cos sin cos sin n

n

r i r n i n n Z θθθθ+=+∈⎡⎤⎣⎦

； ⑷开方法则：复数()()cos sin 0r i r θθ+≥共有(),2n n N n ∈≥个n 次方根，它们是

()22cos sin 0,1,2,

,1k k i k n n n θπθπ++⎫+=-⎪⎭

。

3．复数的指数形式运算法则：()()()12121212,,n

i i i i i i i in e e e e e e e e θθθθ

θθθθθθ+-⋅=÷==。

㈣复数与向量

1．以原点为始点的向量与复数的一一对应；

2．复数的运算法则的几何意义。 ㈤常用特殊复数及其性质 1．复数i

⑴()4123,0,n k k n n n n i i i i i i n k Z ++++=+++=∈；

⑵复数iz 表示将复数z 对应的向量逆时针旋转900所得向量对应的复数； ⑶两个非零向量12OZ OZ ⊥的充要条件是()1

2

,0z i R z λλλ=∈≠； 2．复数ω

⑴()23

1211,,1,022

n n n n Z ωωωωωω++-+-=

==++=∈； ⑵123Z Z Z ∆是正三角形的充要条件是21230z z z ωω++=。 二．应用举例

例1．求证：三角形三条中线共点。

证明：设ABC ∆的三顶点对应的复数依次为,,a b c ，

z 为,AC BC 边上的中线的交点对应的复数。因为复数

,,

2b c a z +以及,,2

a c

b z +对应的点分别共线，故存在实数,αβ，使()()1,122b

c a c

z a z b ααββ++=-+⋅=-+⋅。消去z 得()21a αβ--+⎡⎤⎣⎦ ()()210b c αβαβ--+-=⎡⎤⎣⎦，故()()21210αβαβαβ--=--=-=，可解得

2

3αβ==，从而3

a b c

z ++=

。说明交点Z 与中线的选择无关，从而得证。

例2．由中心对称的六边形123456

A A A A A A 各边向外作正三角形。求证：相邻正三角形的新顶点123456,,,,,

B B B B B B 依次的连线的中点

E

D

Z C

B

A

2

C 5

B 3

2

B B

123456C C C C C C 构成正六边形。

证明：如图，以六边形的中心O 为原点，六个顶点对应的复数为123,,a a a ±±±，那么

()()33

12122323,i

i

b a a a e b a a a e π

π

=+-=+-，故

231333111222i i a a a a c e a e ππ⎡+-=+=+⎢⎣3

23i a a e π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎤+⎥⎥⎦，()33223112i i c a e a a e ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，

故2

3

1i c e c π=。同理可得35641323456

i c c c c c e c c c c c π

=====，故123456C C C C C C 是正六边形。 例3．求证：连接两个正三角形的三对顶点的线段的中点构成一个正三角形的顶点。

证明：首先可证明ABC ∆是正三角形的充要条

件是2

0A B C z z z ωω++=，

其中12

ω-=是1的三

次方根，A z 是A 点对应的复数：若ABC ∆是正三角形，则CA 可由BC 逆时针旋转0

120得到，故

()()()22cos120sin120A C C B C B z z z z i z z ω-=-+=-，整理得20A B C z z z ωω++=。反之亦然。由题可得

2A B C z z z ωω++=

()()()

1212122102

A A

B B

C C z z z z z z ωω⎡

⎤+++++=⎣⎦，

故ABC ∆是正∆。 例4．已知ABC ∆及其所在平面上另外两点,P Q ，,,a b c 是ABC ∆的三边长，求证：a PA QA b PB QB c PC QC abc ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅≥。

证明：设,,,,A B C P Q 依次对应复数123,,,,z z z z z '，考虑关于复数z 的函数

()()()()()()()()()()()()()

112233213132121323z z z z z z z z z z z z f z z z z z z z z z z z z z '''------=

++------，易知()()

12f z f z =

()31f z ==，故()1f z ≡，因此()()()()()()()()

112221313212|

|||z z z z z z z z z z z z z z z z ''----++---- C 2

A 2

B 2

C 1

A 1

B 1

C

B

A