(第二周)第十一章 压杆稳定

Fcr = σ crA = ( a − b λ )
µL
πd 2
4
= (304 − 1 .12 × 80 )
π × 40 2
4
= 269 .4 × 10 3 N = 269 .4 kN
３）计算杆长ｌ＝０．５ｍ时的临界应力 µ＝１，ｉ＝１０ｍｍ
1 × 0 .5 × 10 3 λ= = = 50 < λ s = 62 i 10
第十一章 压杆稳定
重点:了解压杆稳定的概念;掌握用欧拉公式计算压杆的临界荷 载与临界应力;理解压杆的临界应力总图;掌握压杆的稳定条件 及其实用计算. 第一节 压杆稳定的概念 一直杆受轴向拉伸时,无论杆的长短粗细如何,直至被拉断为 止,杆的轴线始终保持直线状态。 直杆受压时，情况就不同了，根据直杆的长度和横截面积的 大小分为粗短杆和细长杆。 粗短杆受压时，破坏原因是由于强度不够，即横截面上的正 应力达到材料的极限应力时，杆会发生破坏。细长压杆的破坏 并不是由于强度不够，即横截面上的正应力没达到材料的极限 应力时，因弯曲过大而破坏。
σ =
A ≤ [σ cr
]
[σｃｒ]为临界应力的许用值，其值为：
ｎｓｔ——稳定的安全系数。 稳定安全系数一般大于强度计算时的安全系数。
[ σ
cr
]=
σ
n
cr st
为了计算的方便，将临界应力的许用值，写成如下形式：
[σ cr ] =
σ
cr
n st
= ϕ [σ
]⇒
ϕ =
n st [σ
σ
cr
]
式中［σ］——强度计算时的许用应力 Φ——折减系数，小于１ 14
9
对于塑性材料制成的压杆，其临界应力不超过材料的屈服 应力σs，即σcr=a-bλ≤σs 或 λ≥（ａ－σｓ）／ｂ 令 λｓ＝ （ａ－σｓ）／ｂ （７）式 得 λ≥ λｓ 式中λｓ——临界应力等于材料的屈服应力时压杆的柔度值， 也是与材料的性质有关的常数。直线经验公式的适用范围 为： λｓ＜ λ ＜ λｐ （８）式 （８）式也可以用应力来表示： σｓ＞ σｃｒ＞ σｐ 柔度值介于λｓ与λｐ之间的压杆称为中长杆 中柔度杆 中长杆或中柔度杆 中长杆 中柔度杆。 说明： σｃｒ≥ σｓ，即λ ≤λｓ的压杆称为粗短杆 小 粗短杆或小 粗短杆 柔度杆，其破坏为强度破坏，对于塑性材料的压杆，可取 柔度杆 临界应力σｃｒ＝ σｓ。
l
b 6
h
z
三、欧拉公式的适用范围 1、临界应力和柔度 当压杆在临界力Fcr作用下处于直线状态的平衡时，其横截 面上的压应力等于临界力Fcr除以横截面面积A，称为临界 应力，用σcr表示。
σ
cr
=
F cr A
σ cr
代入（1）式得： 令
i = I A
π 2 EI = (µl ) 2 A
(3)式为压杆临界应力的欧拉公 式。λ为压杆的柔度 长细比 柔度或长细比 柔度 长细比， 是一个无量纲的量，与压杆的 长度系数μ、杆长l及惯性半径 i有关。 由于压杆的长度系数µ决定于压 杆的支承情况，惯性半径i决定 截面的形状和尺寸，所以柔度 综合反映了支承情况、压杆的 长度、截面的形状与尺寸对临 界力的影响。 （3）式表明：压杆的柔度λ越 大，则临界应力σcr越小，压杆 越易失稳。
a
b
c
d
2
2）当轴向压力F逐步增大到某一数值Fcr时，即使撤去干扰力，杆仍 处于微弯状态，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，图c、d，则原 有的直线平衡状态称为不稳定的平衡。 3）如果力F继续增大，则杆继续弯曲,产生显著的变形,甚至发生突然 的破坏。
a
b
c
d
3
由上可知，在轴向压力逐渐增大的过程中，压杆由稳定的 平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性 丧失稳定性 或压杆失稳。 或压杆失稳。压杆是否失稳取决于轴向压力的大小，压杆 由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向 压力，称为压杆的临界压力或临界力 临界压力或临界力，用Fcr表示。 临界压力或临界力 当轴向压力F小于Fcr时，杆件就能保持稳定的平衡，这称 为压杆具有稳定性；当轴向压力F等于或大于Fcr时，杆件 稳定性； 稳定性 就不能保持稳定的平衡而失稳。
1
例如，一根长300mm的钢制矩形截面直杆，宽为20mm，厚 度为1mm，材料的抗压许用应力等于140MPa。按抗压强度计 算，其抗压承载能力为2800N。但实际上，压力不到40N时，杆 件发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能 力而导致破坏。显然这不属于强度破坏的问题。 以下图等直细长杆说明问题。在杆两端施加轴向力F，使杆在直 线状态下处于平衡，此时，给杆以微小的侧向干扰力，使直发 生微小的弯曲，再撤去干扰力。当杆承受的轴向压力大小不同， 其结果也截然不同。 1）当轴向压力F小于某一数值Fcr时，在撤去干扰力后，杆能自 动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，图a、b，这种原有 的直线平衡状态称为稳定的平衡。
7
i——压杆横截面的惯性半径 临界应力可写为： σ cr
π 2 Ei 2 π 2E = = 2 µl ( µl ) ( )2
i
（2）式 （3）式
令 则
λ =
µl
i
σ cr
π 2E = λ2
2、欧拉公式的适用范围 在推导欧拉公式的过程中，利用了挠曲线的近似微分方 程，该微分方程必须是材料处于弹性状态即服从虎克定 律，因此欧拉公式的适用范围是临界应力不超过材料的 比例极限σp。
bh3 304 I y = Iz = = = 6.75 ×104 mm4 12 12 π 2 EI π 2 × 200 ×103 × 6.75 ×104 Fcr = = = 8330N = 8.33kN ( µl ) 2 (2 × 2 ×103 ) 2
y x F
分析：横截面面积相等，支承条件相同时，计算的临界 力后者大于前者。所以在材料用量相同时，选择恰当的 截面形式，可提高细长压杆的临界力。
µl
压杆为粗短杆，其临界力为：
Fcr = σ sA = 235 ×
π × 40
4
2
= 295 . 3 × 10 3 N = 295 . 3 kN
13
第三节 压杆的稳定计算 当压杆的应力达到或超过其临界应力时，压杆会丧失稳定。 所以正常工作的压杆，横截面上的应力应小于临界应力。在 工程中，为了保证压杆具有足够的稳定性，必须考虑一定的 安全储备，这要求横截面上的应力，不能超过压杆的临界应 力的许用值值 [σｃｒ]，即： F
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例２：如图所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Ｑ２３５钢制成，材 料的弹性模量Ｅ＝２００ＧＰａ，屈服应力σｓ＝２３５ＭＰａ，直径ｄ ＝４０ｍｍ，试分别计算下面三种情况下的临界应力：１）杆长ｌ＝ １．２ｍ；２）杆长ｌ＝０．８ｍ； ３）杆长ｌ＝０．５ｍ； 【解】１）计算ｌ＝１．２ｍ时的临界应力。两端铰支μ＝１
4
第二节 临界力和临界应力 一、细长压杆临界力计算公式——欧拉公式（推导从略）
二、欧拉公式的一般形式 临界力计算公式可以统一写成：
P cr =
π
EI (µl)2
2
（1）式
EI为截面的抗弯刚度，由于压杆总是在抗弯刚度最小的纵 向平面内失稳，所以I应取截面的最小形心主惯性矩。 μl称为折算长度（计算长度），表示将压杆折算成两端铰 支座的长度。μ为长度系数。
X
【解】1）计算截面的惯性矩
压杆在弯曲刚度最小的xy平面内失稳,最小惯性矩为:
I min hb3 45 × 203 = Iy = = = 3 ×104 mm4 12 12
F Z
Y
2）计算临界力 π 2 EI π 2 × 200 × 10 3 × 3 × 10 4 Fcr = = = 3701 N = 3.70 kN 2 3 2 ( µl ) ( 2 × 2 × 10 ) 3）当截面改为b=h=30mm时压杆的惯性矩为：
σ λ
cr
=
π
2
EБайду номын сангаас
2
λ σ
≤ σ
p
≥ π
E
p
设λp为压杆临界应力达到材料的比例极限 σp时的柔度值，则： E λp = π σ p （4）式 欧拉公式的适用范围：λ≥λP （5）式
（4）式可知，λp的值取决 于材料的性质，不同的材料 有自己的E和σp值，所以不 同的材料制成的压杆，λp也 不同。例如Q235钢， σ=200MPa，E=200GPa，（4） 式求得λp=100
σ
= F A ≤ ϕ
[σ ]
折减系数φ可由λ查表得到。由（９）式进行压杆的稳定计算 很方便，所以该方法也称为实用计算方法。 注意：在稳定计算中，不论压杆是否有孔或槽，其横截面面积 Ａ用毛面积计算。但对于截面的削弱处，应进行强度计算。
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• • • •
应用压杆的稳定条件，可以进行三个方面问题的计算。 １）稳定校核 ２）计算稳定时的许可荷载 ３）进行截面设计
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例３：如图，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材 料为Ｑ２３５钢，ｄ＝２０ｍｍ，材料的许用应力［σ］ ＝１７０ＭＰａ，已知ｈ＝０．４ｍ，作用力Ｆ＝１５ ｋＮ。试在计算平面内校核二杆的稳定。 【解】1)计算压杆所受的压力以 结点A为研究对象,列平衡方程
支承情况 两端铰支 Pcr l
一端固定 一端悬臂
两端固定
一端固定 一端铰支
Pcr
l l
Pcr
l
Pcr
杆端支承 情况
折算长度 长度系数
l 1
2l 2
0.5l 0.5
0.7l 0.7 5
例１：如图，一端固定另一端自由的细长压杆，杆长l=2m，截面形状为矩 形，b=20mm，h=45mm，材料的弹性模量E=200GPa，试计算该压杆 的临界力。若把截面改为b=h=30mm，而长度保持不变，则该压杆的临 界力为多少？
µl
64 = d = 40 = 10 mm πd 2 4 4 4
Ｆ
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２）计算杆长ｌ＝０．８ｍ时的临界应力 μ＝１，ｉ＝１０ｍｍ
1× 0.8 ×103 λ= = = 80 i 10
查表１１－２可得λｓ＝６２ 由于λｓ＜ λ ＜ λｐ，所以是中长杆，应用经验公式计算临界力。 查表１１－２，Ｑ２３５钢ａ＝３０４ＭＰａ，ｂ＝１．１２ＭＰａ
惯性半径
i = I = A
πd
4
柔度
所以是大柔度杆，用欧拉公式计算临界应力
π 2 E πd 2 π 3 × 200×103 × 402 Fcr = σcrA = 2 • = = 54.83×103 N = 54.83kN 2 λ 4 4 ×120
Ｆ
Ｌ
1×1.2 ×103 λ= = = 120 > λp = 100 i 10
当压杆的柔度不小于λp时，才可应用欧拉公 式计算临界力和临界应力。这类压杆称为大 大 柔度杆或细长杆 细长杆，欧拉公式只适用于大柔度 柔度杆 细长杆 杆。
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• 四、中长杆的临界力计算——经验公式、临界应力总图 四、中长杆的临界力计算——经验公式、临界应力总图 • 1、中长杆的临界力计算——经验公式 、中长杆的临界力计算——经验公式 • 欧拉公式只适用大柔度杆，即临界应力不超过材料的比例 极限（弹性稳定状态）。当临界应力超过比例极限时，材 料处于弹性阶段，压杆的稳定属于弹塑性稳定（非弹性稳 定）问题，则欧拉公式不适用。对这类压杆各国采用经验 公式计算临界力和临界应力，经验公式是在试验和实践的 基础上，经过分析、归纳得到的。各国的计算不尽相同。 我国比较常用经验公式有直线公式和抛物线公式等，这里 只介绍直线公式，其表达式为：：σcr=a只介绍直线公式，其表达式为：：σcr=a-bλ （6）式 • 式中a和b是与材料有关的常数，单位MPa，几种材料的a、 式中a 是与材料有关的常数，单位MPa，几种材料的a b值见P169表11-2。 值见P169表11• （6）式的适用范围，是临界应力不超过材料的极限应力， 否则压杆会因强度不足而破坏。
由上式可知，当［σ］一定时，φ取决于σｃｒ与ｎｓｔ。 临界应力σｃｒ随杆的柔度而变，而不同柔度的压杆一般 又规定不同的稳定安全系数，所以折减系数φ是柔度λ的 函数。当材料一定时，φ值取决于柔度λ值。见Ｐ１７２ 表。 注意：［σｃｒ］与［σ］虽然都是许用应力，但有很大 注意 的不同。 ［σ］只与材料有关，而［σｃｒ］除与材料 有关外，还与杆的柔度有关，所以相同材料制成的不同柔 度的压杆，其［σｃｒ］值是不同的。 压杆的稳定条件为：
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２、临界应力总图 综上所述，压杆按柔度的不同，分为三类。当λ≥ λｐ时， 为细长杆，临界应力用欧拉公式计算；当λｓ＜ λ ＜ λｐ 时，压杆为中长杆，临界应力用（６）式计算；当λ ≤λｓ 时，压杆称为细长杆，临界应力等于屈服应力或屈服应力。 如果把临界应力根据柔度的不同而分别计算的情况，用一个 简图来表示，该图形称为压杆的临界应力总图。下图为某塑 性材料的临界应力总图。