4-5第五节 广义积分和Γ函数(完)
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设函数 f ( x ) 在区间 ( , ) 上连续 , 如果 广义积分 f ( x )dx 和 0
0
LOGO
f ( x )dx 都收敛，则
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( , ) 上的广义积分，记作 f ( x )dx .
dx . 2 1 x
LOGO
0 dx dx dx 解 0 2 1 x 2 1 x 1 x2 0 b 1 1 lim a dx lim 0 dx 2 2 a 1 x b 1 x
lim arctan x a lim arctan x 0
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2．递推公式 ( 1) ( ) ( 0).
小结
LOGO
无穷区间上的广义积分
f ( x )dx
f ( x )dx
b
a
f ( x )dx
b
无界函数的广义积分（瑕积分）a f ( x )dx
（注意：不能忽略内部的瑕点）
a f ( x wenku.baidu.comdx a f ( x )dx c
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例 33
证明广义积分 a e
px
dx 当 p 0 时收敛，
px b
LOGO
当 p 0 时发散.
证
a
e
px
dx lim a e
b
b px
e pa e pb lim b p p
e dx lim b p a e ap , p0 p , p0
即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
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二、被积函数有无穷型间断点的广义积分
定义 4-3
b
设函数 f ( x ) 在区间( a , b]上连续，而
b
c
b
f ( x )dx
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第五节 广义积分和 Γ函数
目录
LOGO 1 2 3 4 5
无穷区间上的广义积分 被积函数有无穷间断点的广义积分 Γ函数
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一、无穷区间上的广义积分
定义 4-2 设函数 f ( x ) 在区间[a , ) 上连续， 取
b b
LOGO
b a ，如果极限 lim a f ( x )dx 存在，则称此极
1
LOGO
11 1 1 , dx dx ln x 证 (1) q 1, 0 q 0 0 x x , q 1 1 q 1 1 1 x ( 2) q 1, q dx 1 0 x ,q1 1 q 0 1 q 1 因此当q 1 时广义积分收敛，其值为 ； 1 q 当q 1 时广义积分发散. 1
0 b a b
lim arctan a lim arctan b . a b 2 2
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例31 计算广义积分 解
2
1 1 sin dx . 2 x x
LOGO
2
b
b
在区间[a , b ) 上的广义积分， 记作a f ( x )dx lim a
0
f ( x )dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
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LOGO
设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上除点c (a c b ) 外连 c 的邻域内无界.如果两个广义积分 续，而在点
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例 32 证明广义积分 1 当 p 1时发散.
1 dx 当 p 1时收敛， p x
LOGO
1 1 , dx dx ( 1 ) p 1 , ln x 证 1 x p 1 1 x , p 1 1 p 1 x ( 2) p 1, dx 1 p 1 x , p1 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
1 1 1 1 sin dx 2 sin d 2 x x x x
lim
b
b
2
1 1 1 sin d lim cos x x x b 2
b
1 lim cos cos 1. b b 2
a f ( x )dx 和c
b
c
b
f ( x )dx 都收敛，则定义
c b
a f ( x )dx a f ( x )dx c
lim a
0
c
f ( x )dx
b
f ( x )dx lim c f ( x )dx
0
b
否则，就称广义积分a f ( x )dx 发散.
f ( x )dx f ( x )dx 0
0 b a b
0
f ( x )dx
lim a f ( x )dx lim 0 f ( x )dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
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例30 计算广义积分
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
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例35 计算广义积分 0
a
dx a2 x2
(a 0).
LOGO
解
lim
x a 0
1 , 2 2 a x
x a 为被积函数的无穷间断点.
0
a
a dx lim 0 2 2 0 a x
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
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类似地，设函数 f ( x ) 在区间[a , b ) 上连续， 而在点b 的左邻域内无界 . 取 0 ，如果极限
0
LOGO
lim a
b
f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
LOGO
特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 1 0 时被积函数在点x 0的右领域内无界 .
－函数的几个重要性质：
1． (1) 1
3．余元公式 ( )(1 ) (0 1). sin 1 ( 2 ) 4． ( )( ) 2 1 2 2
限为函数 f ( x ) 在无穷区间 [a , ) 上的广义积 分，记作 a
f ( x )dx.
b b
a
f ( x )dx lim a f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
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LOGO
类似地，设函数 f ( x ) 在区间( , b] 上连续，取
dx a2 x2
x a . lim arcsin lim arcsin 0 0 a 0 0 a 2
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a
1 例 36 证明广义积分 0 q dx 当 q 1时收敛， 当 x q 1时发散.
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例37 计算广义积分
2
1
dx . x ln x
LOGO
解
1
2
dx 2 dx lim 1 x ln x 0 x ln x
2
lim 1
0
d (ln x ) 2 lim ln(ln x )1 0 ln x
limln(ln 2) ln(ln(1 ))
a b ，如果极限 lim a f ( x )dx 存在，则称此极
a
b
限为函数 f ( x ) 在无穷区间( , b] 上的广义积 分，记作 f ( x )dx .
b
f ( x )dx
b
lim a f ( x )dx
a
b
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
0
.
故原广义积分发散.
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例38 计算广义积分0 解
3
dx ( x 1)
3 1
2 3
.
x 1瑕点
2 3
LOGO
0
1
3
dx ( x 1) dx
2 3 2 3
( )
0
1
dx ( x 1)
0 ( x 1) 1
3
lim 0
0
1
dx ( x 1) dx ( x 1)
2 3
3
3 3 2,
dx ( x 1) 3 dx
2 3
lim 1
0
2 3
3
2 3
0
( x 1)
3(1 3 2 ).
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三、 函数
定义4 4 ( ) 0 e x x 1dx ( 0)
LOGO
在点 a 的右邻域内无界．取 0 ，如果极限
0
lim a f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
b
在区间( a , b]上的广义积分，记作 a f ( x )dx .
a f ( x )dx lim 0 a
b
b
f ( x )dx
设函数 f ( x ) 在区间 ( , ) 上连续 , 如果 广义积分 f ( x )dx 和 0
0
LOGO
f ( x )dx 都收敛，则
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( , ) 上的广义积分，记作 f ( x )dx .
dx . 2 1 x
LOGO
0 dx dx dx 解 0 2 1 x 2 1 x 1 x2 0 b 1 1 lim a dx lim 0 dx 2 2 a 1 x b 1 x
lim arctan x a lim arctan x 0
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2．递推公式 ( 1) ( ) ( 0).
小结
LOGO
无穷区间上的广义积分
f ( x )dx
f ( x )dx
b
a
f ( x )dx
b
无界函数的广义积分（瑕积分）a f ( x )dx
（注意：不能忽略内部的瑕点）
a f ( x wenku.baidu.comdx a f ( x )dx c
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例 33
证明广义积分 a e
px
dx 当 p 0 时收敛，
px b
LOGO
当 p 0 时发散.
证
a
e
px
dx lim a e
b
b px
e pa e pb lim b p p
e dx lim b p a e ap , p0 p , p0
即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
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二、被积函数有无穷型间断点的广义积分
定义 4-3
b
设函数 f ( x ) 在区间( a , b]上连续，而
b
c
b
f ( x )dx
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第五节 广义积分和 Γ函数
目录
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无穷区间上的广义积分 被积函数有无穷间断点的广义积分 Γ函数
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一、无穷区间上的广义积分
定义 4-2 设函数 f ( x ) 在区间[a , ) 上连续， 取
b b
LOGO
b a ，如果极限 lim a f ( x )dx 存在，则称此极
1
LOGO
11 1 1 , dx dx ln x 证 (1) q 1, 0 q 0 0 x x , q 1 1 q 1 1 1 x ( 2) q 1, q dx 1 0 x ,q1 1 q 0 1 q 1 因此当q 1 时广义积分收敛，其值为 ； 1 q 当q 1 时广义积分发散. 1
0 b a b
lim arctan a lim arctan b . a b 2 2
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例31 计算广义积分 解
2
1 1 sin dx . 2 x x
LOGO
2
b
b
在区间[a , b ) 上的广义积分， 记作a f ( x )dx lim a
0
f ( x )dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
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设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上除点c (a c b ) 外连 c 的邻域内无界.如果两个广义积分 续，而在点
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例 32 证明广义积分 1 当 p 1时发散.
1 dx 当 p 1时收敛， p x
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1 1 , dx dx ( 1 ) p 1 , ln x 证 1 x p 1 1 x , p 1 1 p 1 x ( 2) p 1, dx 1 p 1 x , p1 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
1 1 1 1 sin dx 2 sin d 2 x x x x
lim
b
b
2
1 1 1 sin d lim cos x x x b 2
b
1 lim cos cos 1. b b 2
a f ( x )dx 和c
b
c
b
f ( x )dx 都收敛，则定义
c b
a f ( x )dx a f ( x )dx c
lim a
0
c
f ( x )dx
b
f ( x )dx lim c f ( x )dx
0
b
否则，就称广义积分a f ( x )dx 发散.
f ( x )dx f ( x )dx 0
0 b a b
0
f ( x )dx
lim a f ( x )dx lim 0 f ( x )dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
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例30 计算广义积分
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
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例35 计算广义积分 0
a
dx a2 x2
(a 0).
LOGO
解
lim
x a 0
1 , 2 2 a x
x a 为被积函数的无穷间断点.
0
a
a dx lim 0 2 2 0 a x
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
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类似地，设函数 f ( x ) 在区间[a , b ) 上连续， 而在点b 的左邻域内无界 . 取 0 ，如果极限
0
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lim a
b
f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
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特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 1 0 时被积函数在点x 0的右领域内无界 .
－函数的几个重要性质：
1． (1) 1
3．余元公式 ( )(1 ) (0 1). sin 1 ( 2 ) 4． ( )( ) 2 1 2 2
限为函数 f ( x ) 在无穷区间 [a , ) 上的广义积 分，记作 a
f ( x )dx.
b b
a
f ( x )dx lim a f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
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类似地，设函数 f ( x ) 在区间( , b] 上连续，取
dx a2 x2
x a . lim arcsin lim arcsin 0 0 a 0 0 a 2
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a
1 例 36 证明广义积分 0 q dx 当 q 1时收敛， 当 x q 1时发散.
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例37 计算广义积分
2
1
dx . x ln x
LOGO
解
1
2
dx 2 dx lim 1 x ln x 0 x ln x
2
lim 1
0
d (ln x ) 2 lim ln(ln x )1 0 ln x
limln(ln 2) ln(ln(1 ))
a b ，如果极限 lim a f ( x )dx 存在，则称此极
a
b
限为函数 f ( x ) 在无穷区间( , b] 上的广义积 分，记作 f ( x )dx .
b
f ( x )dx
b
lim a f ( x )dx
a
b
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
0
.
故原广义积分发散.
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例38 计算广义积分0 解
3
dx ( x 1)
3 1
2 3
.
x 1瑕点
2 3
LOGO
0
1
3
dx ( x 1) dx
2 3 2 3
( )
0
1
dx ( x 1)
0 ( x 1) 1
3
lim 0
0
1
dx ( x 1) dx ( x 1)
2 3
3
3 3 2,
dx ( x 1) 3 dx
2 3
lim 1
0
2 3
3
2 3
0
( x 1)
3(1 3 2 ).
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三、 函数
定义4 4 ( ) 0 e x x 1dx ( 0)
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在点 a 的右邻域内无界．取 0 ，如果极限
0
lim a f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
b
在区间( a , b]上的广义积分，记作 a f ( x )dx .
a f ( x )dx lim 0 a
b
b
f ( x )dx