抛物线的参数方程知识讲解

t2
t
为
参
数
)
练习
1
、
若
曲
线yx

2 2
p p
t2( t
t
为
参
数
)
上
异
于
原点
的
不 同 两 点 M1， M2所 对 应 的 参 数 分 别 是1,tt2,则
弦 M1M2所 在 直 线 的 斜 率 是 (c )
A 、 t1 t2,
B 、 t1 t2
C、 1 , t1 t2
D、 1 t1 t2
y( y ) 2 p x 0 x
即x2 y2 2 px 0( x 0) 这 就 是 点M的 轨 迹 方 程
探究：在例3中，点A, B在什么位置时，AOB的面积 最小？最小值是多少?
由 例3可 得
OA＝ (2 pt12 )2 (2 pt1 )2 2 p t1 t12 1

t2


y x
(x

0)................................(9)

因 为AM ( x 2 pt12 , y 2 pt1 ),

MB

(2
pt
2 2

x,2
pt2

y)且A,
M,
B三 点 共 线 ，
所 以( x 2 pt12 )(2 pt2 y) (2 pt22 x)( y 2 pt1 ) 化 简 ， 得y(t1 t2 ) 2 pt1t2 x 0...............(10) 将(8),(9)代 入(10),得 到
例1、 如 图O是 直 角 坐 标 原 点 ，A, B是 抛 物 线 y2 2 px( p 0)上 异 于 顶 点 的 两 动 点 ，且 OA OB,OM AB并 于AB相 交 于 点M， 求 点 M的 轨 迹 方 程 。
yA M
o
x
B
解 ： 根 据 条 件 ， 设 点M , A, B的 坐 标 分 别 为( x, y)
即
当
点A,
B关 于x轴 对 称 时 ，
AOB的 面 积 最 小 ， 最 小 值 为4 p2 .
一、课题引入
在平面直角坐标系中，确定一条直线 的几何条件是什么？
根据直线的几何条件，你认为用哪个 几何条件来建立参数方程比较好？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条 直线 根据直线的这个几何条件，你认为应 当怎样选择参数？

y

2pt.
(t为参数，t

R)

o
Hx
其中参数t=
1
taFra Baidu bibliotek
(

0),当
=0时，t=0.
几何意义为： 直线OM斜率的倒数。
即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=
x y
.
思考： x2 2py(p 0)
的参数方程？
y M(x，y)

o
H x
x y

2 2
p p
t (
二、新课讲授
设e是与直线l平行且方向向上（l的倾斜角不为0） 或向右（l的倾斜角为0）的单位方向向量（单位长度 与坐标轴的单位长度相同）
设直线l的倾斜角为，定点M0、动点M的坐标
分别为( x0 , y0 )、( x, y)
(1)如何利用倾斜角写出直线l的单位方向向量e ？
(
2)如
何
用e和M
的
, .
(为参数)
x=2pt2 ,

y

2pt.
(t为参数)
当t 0时，参数方程表示的点 正好就是抛物线的顶点（0，0）。
所以，xy=2p2tp2t,.(t为参数，t R)表示整条抛物线。
抛物线的参数方程 抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
y
M(x，y)
x=2pt2 ,
（1）
直
线
x y

3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
（2） 直 线x

y
1

0的 一 个 参 数 方 程 是

x 1


y

2 2
2 t
2 （t为参数）
t
。
直线的参数方程中参数t的几何意义是：t 表示参数t
OB
(
2
pt
2 2
)2
(2 pt2 )2

2 p t2
t
2 2

1
所 以 ，AOB的 面 积 为
SAOB 2 p2 t1t2
(t12

1)

(t
2 2

1)
2 p2 t12 t22 2 2 p2 (t1 t2 )2 4 4 p2
当 且 仅 当t1


t
，
2
抛物线的参数方程
设抛物线普通方程为y2 =2px.
y
M(x，y)
设M（x,y）为抛物线上除顶点外的
任意一点，以射线OM为终边的角记作。
因为点M（x,y）在的终边上，

o
H
根据三角函数定义可得
y x

tan
.
x
代如解入 果出设抛 x,ty物=得t线a到1n普抛,通物t 方线(-程 （不， ,0)包U括(0,顶+点)）,则的有参数方程：xy=tta2an2pn2p
(2
pt12 ,2
pt1 ),(2
pt
2 2
,2
pt2 )(t1

t2 ,且t1

t2

0)则



OM ( x, y),OA (2 pt12 ,2 pt1 ),OB (2 pt22 ,2 pt2 )

AB

(2
p(t
2 2

t12
),2
p(t2

t1
))



因 为OA OB,所 以OA OB 0,即
对应的点M到定点M 0的距离。当M 0M与e同向时，t取正
数；当M
0
M
与e异向时，t取负数；当点M与M
重合时，
0
t 0.
三、例题讲解
解：由由xy韦达y求x定2 1解理 得 如0本：果题x得1在呢：xx学2？2习x1， 直1 x线10 x的2 参1(数*) 方程之前,你会怎样
0
坐
标
表
示
直
线上
任意一
点M的
坐
标
？
(1) e (cos,sin)
(2) M0M ( x, y) ( x0, y0 ) ( x x0, y y0 ) 又 M0M // e
存在惟一实数t R，使得 M0M te
注：（1）直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？ （2）参数t的取值范围是什么？ （3）该参数方程形式上有什么特点？
(2 pt1t2 )2 (2 p)2 t1t2 0,所 以t1t2 1...........(8)



因 为OM AB,所 以OM OB 0,即
2 px(t22 t12 ) 2 py(t2 t1 ) 0
所 以x(t1 t2 ) y 0,
即t1