函数的连续性-6页精选文档

一、 §1。5函数的连续性

（一） 预备知识 函数的增量

1．定义123p 学生阅读定义教师板书定义后以图1。17直观解释

注意：（1）增量记号

,x y ∆∆

是不可分割的整体；x ∆可正、可负；

y ∆可正、可负或为零。

（ 2 ）几何上函数的增量表

示当自变量从0x 变化到0x x +∆时，曲线上对应点的纵坐标的增量（图1，17所示）

（3 ）一般地y ∆既与x 有关又与x ∆有关。

图1。17

2．讲解例123p 巩固定义 解 （1） 1.510.5x ∆=-= y ∆=

（2） （3）

（二） 函数()y f x =在点0x 的连续性

教师引导学生观察比较图1。18 图1。19 知函数在点0x 处连续的特征是：当0x ∆→时，0y ∆→。函数在点0x 处断开的特征是：当0x ∆→时，y ∆不趋向于零。由此引出定义如下：

定义2 设函数)(x f y =在0x 及其近旁有定义，如果

0)]()([lim lim 000

=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x

则称函数)(x f y =在点x 。处是连续的。

在定义2中，设x x x ∆+=0即0x x x -=∆，则0→∆x 就相当于0x x →，而0)()(00→-∆+=∆x f x x f y 就相应于)()(0x f x f →（0x x → ）即

0lim 0

=∆→∆y x

就等价于 )()(lim 00

x f x f x x =→

因此定义2可以等价表述为：

定义3 设函数)(x f y =在点0x 及其左右近旁有定义，如果

)()(lim 00

x f x f x x =→

则称函数)(x f 在点0x 处连续，并称0x 为)(x f 的连续点。

由定义3可知：函数)(x f y =在0x 处连续，必须满足下列三个条件：

⑴函数)(x f y =在点0x 处有定义； ⑵)(lim 0

x f x x →存在，即)(lim 0

x f x x -

→=)(lim 0

x f x x +

→

⑶)()(lim 00

x f x f x x =→

应用举例24p 例2 25p 例3 教师分析学生自作，讲评并归纳：

证明函数()f x 在点0x 处的连续性用定义3较定义2方便。

（三） 函数()y f x =在区间(),a b 内的连续性

1函数()y f x =在区间[],a b 的左端点右连续，在右端点左连续

2函数()y f x =在区间(),a b 内的连续性

如果函数()f x 在区间(),a b 内任意点都连续责称函数

()f x 在区间(),a b 内连续。

（四）函数()y f x =在区间[],a b 上的连续性

如果函数()f x 在区间[],a b 上有定义，在区间(),a b 内连续且在右端点b 左连续，在左端点a 右连续，那么就称函数

()f x 在区间[],a b 上连续。

说明：连续函数的图像是一条连续不断的曲线。如：32y x =+

4 复合函数的连续性 定理 25p

对此定理说明如下：

（1）

在满足定理的条件下，求复合函数的极限时，函数记号“f ”与极限记号“lim ”可以交换运算的次序；

（2）

易证明一切初等函数在其定义与内时连续的。

应用举例26p 例4 解 （1） （2） （3）

由此例⇒求当0x x →时函数极限的简便方法：求函数值法。 (四)函数的间断点

由定义3可知：函数)(x f y =在0x 不满足下列三个条件之一，

⑴函数)(x f y =在点0x 处有定义； ⑵)(lim 0

x f x x →存在，即)(lim 0

x f x x -

→=)(lim 0

x f x x +

→；

⑶)()(lim 00

x f x f x x =→则称函数()f x 在0x 间断。0x 叫函数()

f x 的间断点。

教师引导学生分析考察以下三个函数在点x=1的连续性

1 21

()1

x f x x -=- ；

2 1,1

()1,1

x x f x x x +>⎧=⎨

-≤⎩

3 ,1()1,12

x x f x x ≠⎧⎪

=⎨=⎪⎩

学生阅读教材2627p -教书画三图如上师生再共同用定义法解上三例并以图直观解释：函数在1x =初步连续的情况有三种1时函数在1x =处无定义，2是1

1

1

lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，3是1

lim ()(1)x f x f →≠从而⇒间断的的分类()⎧⎧⎨⎪

⎨⎩⎪⎩

可去

第一类不可去第二类无穷间断点

生思考：x=1分别是上三函数的第几类间断点？ 练习 习题1。5 2 （1）、（3）；2 （4）、（6）；4

内容小结 1 函数连续性的有关概念()[]⎧⎪

⎨⎪⎩

0在点x 连续

在区间a,b 内连续在区间a,b 上连续

2 函数的间断点的有关概念()⎧⎧⎨⎪

⎨⎩⎪⎩

可去

第一类不可去第二类无穷间断点

3 应用*

⎧⎨⎩

利用函数的连续性求极限求函数的间断点

布置作业（见首页）

希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条： 1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。