高中数学复合函数练习题56911

第一篇、复合函数问题

一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A, u=g(x)的值域为B,若A二B,则y关于x函数的y=f [ g(x)]叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题：

(一)例题剖析：

(1)、已知f (x)的定义域，求f lg(x)丨的定义域

思路：设函数f (x)的定义域为D,即X • D，所以f的作用范围为D,又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)・D，解得x・E , E为fg(x) 1的定义域。

例1.设函数f (u)的定义域为(0, 1),贝U函数f (In x)的定义域为_____________________ 。

解析：函数f (u)的定义域为(0, 1)即u • (0, 1)，所以f的作用范围为(0,1) 又f对Inx作用，作用范围不变，所以0 ：：： In x 1

解得x • (1, e)，故函数f (In x)的定义域为(1, e)

1

例2.若函数f(X)= ---------- ，则函数f [f (x)]的定义域为___________________ 。

X +1

1

解析：先求f的作用范围，由f (x) ，知x= -1

X十1

即f的作用范围为 & R|x = -代，又f对f(x)作用

X池_ 1

所以f (x) R且f (x) 一1，即f If (X) 1中X应满足

l f(x)H-1

X = -1

即1 ，解得x =且x = -2

1

X 1

故函数f〔f (x) 1的定义域为lx R|x = -1且x = -2?

(2)、已知f fg(x)】的定义域，求f (x)的定义域

思路：设f 'g(x)丨的定义域为D,即D ,由此得g(x) E，所以f的作用范围为E, 又f对x作用，作用范围不变，所以x • E, E为f (x)的定义域。

例3.已知f(3-2x)的定义域为x E[-1, 2】，则函数f (x)的定义域为____________________ 。

解析：f(3-2x)的定义域为1-1, 21，即1-1, 21,由此得3-2x・ 1-1, 5】

所以f的作用范围为1-1, 5〕，又f对x作用，作用范围不变，所以1-1, 51

即函数f(x)的定义域为［一1, 51

2

例4.已知f (X2— 4) = lg —，则函数f (x)的定义域为________________________

x —8

2 2 解析：先求f的作用范围，由f (x2一4) =lg孚，知孚0 x2 _8 x2_8

解得x2-4 4，f的作用范围为(4，:：)，又f对x作用，作用范围不变，所以

x • (4，•:：)，即f (x)的定义域为(4，•：：)

(3)、已知f fg(x)】的定义域，求f lh(x)】的定义域

思路：设f〔g(x)丨的定义域为D，即D，由此得g(x) • E，f的作用范围为E，

又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x) • E，解得x・F，F为f !h(x)丨的定义域。

例5.若函数f (2x)的定义域为［-1, 1］，则f (log 2x)的定义域为_________________ 。

解析：f(2x)的定义域为1-1，1 ］，即1-1，1 ］，由此得2x•1，2

即f (log 2x)的定义域为I-.2，41

评注：函数定义域是自变量x的取值范围(用集合或区间表示) f对谁作用，则谁的范

围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

(二)同步练习：

2

1、已知函数f(x)

的定义域为［°，

1］

，求函数

f(

X

)

的定义域。

答案：［-1,1］

2、已知函数f

(3-

2x

)的定义域为

［

-3, 3］，求f (x)的定义域。

又f对log2x作用，所以log 2 x 41 f的作用范围为

答案：［；，9］ 3、已知函数

y

'(X ' 2)的定义域为(-％ °)，求f (|2x -“)的定义域。

答案:

f x y

(2 \

x 乏(-4, 一1 )U (1,4 )。故 f 一 | + f — ［的定义域为(-4, 一1 灯(1,4 )

12丿 i x 丿 ----------------

f(x)的定义域为x (―丄,3

)，求g(x)二f(ax) f(d(a ■ 0)的定义域。

2 2 a

1 3 -一

2a 2a

a . 3 —£ x £ — a. l 2 2

1 3

(1)当 a =1 时，定义域为｛x | - 一 :: x . —｝；

2 2

3 3 1 a (2)

当 a ，即 0 ：：： a ：：：1 时，有--

2a 2 2a 2

定义域为｛x | -a ::: x

3 a ｝；

2 2

a

3

当 0 ::: a ::: 1 时，定义域为｛x | -一 ：:: x ：：： — a ｝.

2 2

［点评］对于含有参数的函数， 求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字

」2 2， *

―

1 x 3 —< — <-,

2 a 2 4、设 f x = lg ------- ---- X ，则

2 — x

- 的定义域为(

x

A.

- 4,0 0,4 B. - 4,-1 1,4 C. -2, -1 1,2

D.

-4,-2

2,4

2 + x

解：选C •由乞芒 °得,

2 —X

f(x)的定义域为 ix | -2 ：：： x 2：。故

亠1 2,

2：：

- ：： 2.

x

，解得

5、已知函数 3

3

(3)当石宁，即a 1时，有

1 a 一 < 一一 2a 2'

［解析］由已知， 1

3

ax , 定义域为｛x |

故当a -1时，定义域为｛x |