一元二次方程的几种解法

x24x45.
x22 5.
写成（）2 的形式，得
x24x45.
x22 5.
x24x1.
写成（）2 的形式，得
x24x45.
x22 5.
x24x1.
配方：左右两边同时加上一个常 x24x414.
数，凑成完全平方，得
x24x45.
写成（）2 的形式，得
x22 5.
x24x10.
x24x1.
配方：左右两边同时加上一个常 x24x414.
A
3
1、只含一个未知数的 一元方程；
2、未知数的最高次数是2的 二次方程；
3、整式方程.
A
4
x2 5x150 x25x150 (x3)2 7 x26x20
3x25x0 1 x2 1 0
2 4x2 0
2 x2
5
3
x x5
（不是整式方程） （不是整式方程）
x22y30（不是一元方程）
2xx32x21
解：去括号，得 3x2-3x=2x+4+8. 移项，得 3x2-3x-2x-4-8=0.
合并同类项，得 3x2-5x-12=0.
∴原方程是一元二次方程；二次项系数是３， 一次项系数是 - 5，常数项是 – 12.
练习：说出下列方程的二次项系数、一 次项系数和常数项：
x （1） 2 3 x 2 0 . 答：a=1, b=3, c= -2.
数，凑成完全平方，得
x24x45.
写成（）2 的形式，得
x22 5.
解：
x24x10.
移项：将常数项移到等号一边，得 x24x1.
配方：左右两边同时加上一个常 x24x414.
数，凑成完全平方，得
x24x45.
写成（）2 的形式，得
x22 5.
解：
x24x10.
移项：将常数项移到等号一边，得 x24x1.
（2）2x25x30.答：a=-2, b=-5, c= 3.
（3）3x25x2. 3x25x20.
答：a=3, b=-5, c= 2.
（4）2 x 1 3 x 2 3 .6x24x3x23,
6x2x50.
答：a=6, b=1, c= -5.
例2、 已知：关于x的方程
(2m-1)x2-(m-1)x=5m
去括2号 x2： 6x2x21
合并同 类 6x项 1.：
2 x2
5
3
x x5
（不是整式方程） （不是整式方程）
x22y30（不是一元方程）
2xx32x21（不是二次方程）
一元二次方 程的一般形式
完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0
ax2+bx+c=0
(a≠0)
不完全的
(a≠0, b≠0, c≠0)
是一元二次方程, 求：m的取值范围. 解：∵ 原方程是一元二次方程， ∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2 .
二、一元二次方程的解法
A
13
形如 ax2=0 (a≠0) 的 一元二次方程的解法：
A
14
形如 ax2=0 (a≠0) 的 一元二次方程的解法：
2x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
A
15
4x2=36,
解：x2=9，
∴ x=±3.
即x1=3, x2= -3.
A
19
4x2-36=0. 解： 4x2=36,
x2=9，
∴ x=±3.
即x1=3, x2= -3.
A
20
形如 ax2c0（a≠0，c ≠ 0）的 一元二次方程的解法：
ax2 c.
x2 c .
a 当ac<0时 ， x
c.
a
当ac＞0时 ，此方程无实数解.
解法1、直接开平方法
如 x2=8, 2x2=9, -3x2+7=0,……等等.
A
22
x2=8.
解：x 8, x 2 2.
2x2=9.
wenku.baidu.com
解： x 2 9 ,
2
x 9, 2
x3 2, 2
x1
32 2
, x2
32 2
.
-3x2+7=0.
解： 3 x 2 7 ,
一元二次方程的几种解法
A
1
引例
剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使 它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？ 解：设这块铁片的宽为x cm，那么它的 长为（x+5) cm. 根据题意，得
x（x+5)=150. 去括号，得 x2+5x=150.
A
2
一、一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
除以二次项系数，得
x24x10.
移项：将常数项移到等号一边，得 x24x1.
配方：左右两边同时加上一次项 x24x414.
系数一半的平方，得
x24x45.
写成（）2 的形式，得
x22 5.
开平方，得
x2 5.
x125,x225.
解这两个方程，得
解：
练习 x26x ： 70.
二次项系数化1：两边同时
x2 7 , 3
x 7, 3
x 21 , 3
x1
21 3 ,x2
21 . 3
x22 5.
将(x-2)看作一个
整体, 开平方，得: x2 5.
x2 5.
即 x 1 ： 25 ,x 2 25 .
2x225.
解：系数化1，得 x 22 5,
2
2x225.
解：系数化1，得 x 22 5,
形如 ax2=0 (a≠0) 的 一元二次方程的解法：
5x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
A
16
形如 ax2=0 (a≠0) 的 一元二次方程的解法：
-3x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
A
17
形如 ax2=0 (a≠0) 的 一元二次方程的解法：
ax2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
A
18
配方：左右两边同时加上一个常 x24x414.
数，凑成完全平方，得
x24x45.
写成（）2 的形式，得
x22 5.
开平方，得
x2 5.
x125,x225.
解这两个方程，得
怎样配方：常数项是一次项 系数一半的平方.
a2±2ab+b2=(a±b)2.
A
37
解：
3x21x230.
二次项系数化1：两边同时
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
一元二次方程 ax2+c=0 (a≠0,c≠0)
ax2=0 (a≠0)
A
8
（１）化为一般形式后， （２）二次项的系数是否为0
是判断一元二次方程的关键.
A
9
例１、方程 3 x x 1 2 x 2 8 是否
为一元二次方程？如果不是，说明理由； 如果是，指出它的二次项、一次项系数 及常数项.
2
开平方，得
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次2方程，得
2
x1 2 , 10
x2 2
10 .
解法1：直接开平方法
凡形如 ax2+c=0 (a≠0, ac<0)
或 a(x+p)2+q=0 (a≠0, aq<0)
的一元二次方程都可用直接开平方法解.
A
29