格林公式

在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pdx Qdy L
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
在 D 内是某一函数
的全微分,
即 d u(x, y) P dx Q dy (4) 在 D 内每一点都有 P Q .
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
2xy dx x2 dy L
0dx dy
0
D
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例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
( x, y)
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x
y

x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
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第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
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定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
f (x, y) ds f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
L

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x2
x
y2
则
P x

y2 x2 (x2 y2)2

Q y
( x 0 ) o (1,0)
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数

x
0 dx
1
x
y dy 0 x2 y2
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或

y dy 0 1 y2
arctan x
练习. 计算
其中L为 y
B(1,1)
(1) 抛物线 L : y x2, x : 0 1; x y2
(2) 抛物线
y x2
(3) 有向折线 L : OA AB.
o
A(1, 0 ) x
解: (1) 原式
4 1 x3 dx 0
(2) 原式
1
(
2y
2
y

2y

y
4
)d
y
CBE
EAC
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即
①
同理可证 ②
①、②两式相加得:
D

Q x
P y
d xd y

L Pdx Qdy
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2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图
D
Q x

P y
d xd y
y D2 D1 L
n

Q P dxdy
k 1 Dk x y
o
Dn x
n

Pdx Qdy
k 1 Dk
(Dk 表示 Dk的正向边界)
L Pdx Qdy
证毕
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格林公式

D

Q x
(xx , y)
(xx , y)

Pd x Qdy
Pd x
(x, y)
(x, y)
P(x x, y)x u lim xu lim P(x x, y) P(x , y)
x x0 x x0
同理可证u yFra bibliotekQ(x,
y),

x) a

y x


b
2
(
x)
y d
E
AD B
cC
则
D
Q x
d xd y

d
dy
c
2 ( y) Q dx 1(y) x
oa
bx

d
c Q( 2 ( y), y ) dy
d c
Q(1(
y),
y
)
d
y
Q(x, y)dy Q(x, y)dy
林公式 , 得
y

xdy ydx l x2 y2

xdy ydx Ll x2 y2

0d xdy 0
D1
lL
o
x
D1

2
0
r
2
cos2

r2
r
2
sin
2

d

2
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二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
连续,
L 的参数方程为

x y


(t) (t)
t :
,
则曲线积分
存在, 且有




P[
(t),

(t)]
(t
)

Q
[
(t),

(t)]
(t)d
t
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特别是, 如果 L 的方程为 y (x), x : a b,则
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
y x
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证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L2
B
A
L1

L1

L
2
Pdx

Qd
y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
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证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D
(如图) , 因此在 D上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得

L
P
d
x

Q
d
y

D
(
Q x

Q x
)dxd
y
0
证毕
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P y

dxd
y


L
Pd
x

Qd
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A

1 2

L
xd y

y
dx
例如, 椭圆
L
:
x

y

a cos b sin
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点( x0, y0 ) D及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO,它与L 所围
区域为D , 则
原式
(x2 3y) dx (y2 x) dy
L AO
(x2 3y) dx ( y2 x) dy OA

4
D
x (t) 对空间光滑曲线弧 : y (t) t : , 类似有
z (t)



P[
(t
),

(t
)
,

(t
)]
(t)
(t)
(t )
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两类曲线积分之间的联系
设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为
已知L切向量的方向余弦为 cos dx , cos dy
0
(3) 原式

1
(
2x

0

x2

0
)dx

1
( 2y 0 1)dy
0
0
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一、 格林公式
区域 D 分类
单连通区域 ( 无“洞”区 域 多连) 通区域 ( 有“洞”区
L D
域 D 边界L 的正域向) : 域的内部靠左
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
: x (t), y (t), z (t) ( t )
则 f (x, y, z)ds

f ((t) , (t),(t) )

2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
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定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
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例. 设曲线C为曲面
与曲面
从 ox 轴正向看去为逆时针方向, (1) 写出曲线 C 的参数方程 ;
(2) 计算曲线积分
解: (1)
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(2) 原式 = 令
利用“偶倍奇零 ”
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练习. 设 续, 曲线段 L 的长度为s, 证明
则两类曲线积分有如下联系
ds
ds
L P(x, y) d x Q(x, y) d y
L P(x, y) cos Q(x, y) cos ds
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类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是
P d x Q d y R d z
P cos Q cos R cos ds
dxd
y

4 x
2
0
dx
......
y L
D
o
Ax
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例5. 验证
是某个函数的全微分, 并求
出这个函数.
证:
设P xy2,
Q x2 y,
则
P 2xy y
Q x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
du xy2 dx x2 ydy
Q P dxdy Pdx Qdy
D x y
L
( 格林公式 )

或
x y dxdy Pdx Qdy
DP Q
L
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证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
D
:
1(
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
解: 令P 0, Q xe y2 , 则
利用格林公式 , 有
y
B(0,1)
A(1,1)
D yx
x e y2 dy D
o
x
x e y2 dy 1 ye y2 dy
OA
0
1 (1 e1) 2
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(x, y) 。

x
x 0 dx

y x2y dy
0
0
y x2 y dy 0
。
(0,0)
( x,0)
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例6.
验证
x
d x
y
2

y y
d
2
x
在右半平面
(
x
>
0
)
内存在原函
数 , 并求出一个原函数.
y
(x, y)
证: 令
P
y x2 y2
,
Q
Pdx Qdy
B
Pdx Qdy
AB
A
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证明 (2)
(3)
在D内取定点
与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B(x, y ) C(x x, y )
A(x0, y0 )
则 xu u(x x, y) u (x, y)
在L上连
证:
L P cos Q cos ds
L P cos Q cos ds
设 A (P, Q), t (cos ,cos )
二者夹角为
L A t ds L A cos ds
说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.
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如果曲线 L 的方程为
则有

b
f (x, (x) )
a
1 2(x) dx
如果方程为极坐标形式: L : r r( ) ( ),则


f (r( ) cos , r( )sin
)
r 2 ( ) r2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
因此有
du

P
dx
Qdy
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证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
du P dx Qdy
则
u P(x, y), u Q(x, y)
x
y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有
P Q y x
例3. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则当x2 y2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时,由格林公式知 y L
ox
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当(0,0) D时, 在D 内作圆周 l : x2 y2 r 2, 取逆时
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格