单位圆与三角函数线PPT课件

2π (1) 3
y
解：在直角坐标系中作单位圆如图示 2
3π (2)4
P
M
以x轴的正半轴为始边作出 的角， 3PM x轴，垂足为M，由 其终边与单位圆交于P点，作
单位圆与x轴的正半轴的交点A作x轴的垂线,
与OP的反向延长线交于T点，则 2 2
o
A
x
2 sin ＝MP, cos OM , tan AT 3 3 3 2
3 的正弦线为MP,余弦线为OM, 正切线为AT
T
例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线.
2π (1) 3 3π (2)4
y
T2
M2
o
P2
A
x
y N o P
M
x
若角的正弦线为向量ON, 作出角的终边
5 1 2k 或2k ，k Z 若ON= ，则 6 6 2
例2：利用三角函数线比较三角函数值的大小
5π 7π sin 与s i n 4 6 5π 7π cos 与cos 4 6 5π 7π tan 与 tan 4 6
y
T1
M2
5π 7π sin <s i n 4 6
T2
M1
P2 P1
o
5π 7π cos > cos 4 6
A
x
5π 7π tan > tan 4 6
α 是第一象限角，能否在坐标系中找到一个垂直 于 轴向量，使它的数量为α 的正切？
Ｔ点是过单位圆与x轴正半轴交 点Ａ作圆的切线与α 终边的交 点．
y
P o M A x
T
tan AT
互动探究
角α 是第二象限的角时能否找到一个垂直于x轴 向量，其数量为tanα ？ T1的坐标为（-1，y1）则 y y1 α 的终边 tanα= y1 T1（-1， y1 ）
x
o
M A
P T
x
(1)三角函数线位置:
正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直的有向线段; 余弦线在x轴上;正切线在单位圆与x轴正方向的交点的切线上, 三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外.
(2)三角函数线的方向:
正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点, 余弦线由原点指向垂足； 正切线由切点指向与α终边的交点.
1、如果 MP 和 OM 分别是角 和余弦线，那么下列结论中正确的是（
D
7 的正弦线 8
）
A MP OM 0 C OM MP 0
B OM 0 MP D MP 0 OM
2、若 4 2 C A sin cos tan C tan sin cos
结论： 第一象限角α 的余正弦值分别等于终边与单 位圆交点的横、纵坐标，也分别等 ON OM 于 , 的数量, 即
x
cos x OM sin y ON
互动探究
是Biblioteka Baidu、三、四象限角时,角的正余弦值与向量
ＯＮ(ＭＰ ）， ＯＭ 的数量的关系如何？
是二、三、四象限角时向量ＯＮＭＰ ( ）， ＯＭ 的数量与 角的正余弦值是否相等？
y
T
M1
o
A
x
P1
青云学府高一数学组 王斌
知识回顾
（1）角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
y
o
α
P(x,y)
x
x cos r y sin r y tan x
（2）角α 的正弦、余弦、正切值与终边上P点 的位置是否有关？
知识回顾
(3)数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？ 数轴上的向量AB 的坐标是一个实数，这个实 数的绝对值为线段的长度，如果方向与轴方向相同 取正，反之取负。 P(-2,3) y
y α终边
y sinα= 1 = y
p(x , y) o
x cosα= 1 = x
x
互动探究
思考1：当角α 是第一象限角时，能否在坐标轴上 找两个以原点为起点的向量,使p点的坐标分别是这 两个向量的数量？ 过Ｐ作ＰＭ垂直于X轴于Ｍ，作ＰＮ垂直于Y轴于 Ｎ，则点Ｍ，Ｎ分别是Ｐ点在X轴和Y轴上的正射 影（简称射影 )
N
A B M
o x
(4) 从定义看出：角α 的三角函数是两个变量 的比值。为了简单地计算其正余弦、正切我们可以 使分母为 1。 p点到原点的距离为1。所有 当r=1时，即 满足条件的点构成什么图形？
知识回顾
• 我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆 心与坐标原点重合，如图所示，设任意角α与单 位圆交于点p(x , y)，则r = |op| = 1
α终边在x轴上 在y轴上时，三角函数线有何 特点？数量值是什么？
（3）角α的终边在x轴上时,点P与点M 重合,点T与点A 重合,此时,正弦线和正切线变成了一点,它们的 数量为0,而余弦线OM=1或-1 当角α的终边落在y轴上时,正弦线MP=1或-1,余弦线变成了 一点.数量为零,正切线不存在.
例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线.
向量 ON 的数量ON y

N o
P（x,y）
向量 OM 的数量OM x
向量 MP的数量MP y

M
x
互动探究
思考2：当终边在第一象限时，角α 的正余弦与Ｐ y 的纵、横坐标y、x之间有何关系？ P x y N cos = x sin y 1 1 o M 由问题１、２你得到角α 的正余弦值 与向量的数量有什么关系？
y α终边
p(x , y)
p
y
o
y
M
M
x
M
o
y
M
x
正弦线 余弦线
x o
o
p
x
p
互动探究
一般结论：角α 的余弦和正弦值 分别等于角α 的终边与单位圆交 点的横坐标，纵坐标，即
cos x OM sin y ON
把向量OM , ON(MP)叫做角的余弦线，正弦线。
互动探究
1
能否找到一个以Ａ点为起点在过A 的切线上的向量，使这一向量的 数量为tanα ？ tan AT '
·
o (Ⅱ)
A A1
角α 的终边在三、四象限时能否用类 似的方法找到一个向量，使其数量为 tanα ？
T’
观察:
y
P o T P MA x y
y
善于观察善于总结 y
T
M P
Mo
A x
T
o
A

则下列各式中正确的（
）
B cos tan sin D sin tan cos
变式：若
5 3 则下列各式中正确的（ 4 2
）
C
A sin cos tan C tan cos sin