第三节线性变换的矩阵

2)设 V 是数域 P 上 n 维线性空间.则 L(V)与 Pnn 同构；
3)设 dimV=n ，则 dimL(V)=dim Pnn =n 2 ； 4)取 Pnn 的基 E11, E12 ,, E1n ，则基向量在 L（V）中的原象
/ A11, / A12 ,, / Ann 构成 L（V）的一个基。
2．线矩映射
命题 1 设 1, 2 ,, n 是线性空间 V 的一组基， / A, / B LV ，若 / A i / B i ,i 1,2,, n ，则 / A / B 。
命题 2 设 1, 2 ,, n 是线性空间 V 的一组基，对于任意一组向量 1, 2 ,, n 一定有一个线性变换/A 使/A( i )= i ， i 1,2,, n 。
规定： ： / A A ， 则 1） (/A+/B)= (/A)+ (/B)； 2) (/A/B)= (/A) (/B)； 3) (k/A)=k (/A) (k P) ； 4) 若/A 可逆，则 (/A)可逆， 且 ( / A1 ) A1 ； 其中/A，/B L(V ) ，k P 。 注意: 1)线矩阵映射是 L(V)到 P nn 的同构映射；
定理 1 设1, 2 ,, n 是线性空间 V 的一组基，1, 2 ,, n 是 V 中任意 n 个向量，则存在唯一的线性变换/A 使 / A( i ) i ， i 1,2,, n 。
线矩映射定义
设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，1, 2 ,, nwenku.baidu.com是 V 的一组基，/A L(V ) ， 且
例 1 在 P[x] 4 中，设 / A( f (x)) f (x) ，求/A 关于基1, x, x2 , x3 的矩阵。
例 2 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，/A 是由 P 中数 k 确定的数乘变换， 求/A 关于基 1, 2 ,, n 的矩阵；
注意：对 n 维线性空间 V 来说 1）V 的数乘变换关于任意基的矩阵是 kE； 2）V 的单位变换关于任意基的矩阵是 E； 3）V 的零变换关于任意基的矩阵是零矩阵。
三、线性变换矩阵的性质
定理 4 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，
1, 2 ,, n
（I），
1,2 ,,n （Ⅱ）
是 V 的两个基，/A∈L(V)，且/A 在基(I)、(Ⅱ)下的矩阵分别为 A、B，则
B= T 1 AT ，其中 T 表示由基(I)到(Ⅱ)的过渡矩阵。
定义 3 设 A，B 为数域 P 上 n 级矩阵，若 X Pnn ， X 0 ，使
(B) 是P22 线性变换，但不是单变换;
(C) 是P22 的可逆线性变换;
(D) 不是P22 的线性变换.
求 / A在基1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)下的矩阵
例 6 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，证明：V 的与全体线性变换可以交换 的线性变换是数乘变换.
例 7 /A 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个线性变换，证明：如果/A 在 任意一组基下的矩阵都相同，那么/A 是数乘变换。
例
4
设
P
上三维线性空间的线性变换/A
关于基

1
,

2
,

的矩阵是
3
15 11 5 A 20 15 8
8 7 6
求/A 关于基 1 21 3 2 3 , 2 31 4 2 3 3 1 2 2 23 的矩
阵？设
例8
设1
,
2
,,

是线性空间
n
V的一组基
，
/
A是V上的线性变换，证明：
/ A可逆当且仅当 / A(1), / A( 2 ),, / A( n ) 线性无关.
例 9 在线性空间 P3中 定义一个变换 (x1, x2 , x3 ) (2x1 x2 , x2 x3 , x1 ) ， 则
y1 x1

y2
yn


A
x2
xn

例 3 在 R2 中，取从原点引出两个彼此垂直的单位向量 1 (1,0) ，
2 (0,1) 作为基，令/A 是 R2 中每个向量绕原点逆时针旋转θ 的旋转变换，
(x, y) R 2 ，求/A ( ) 关于基 1, 2 的坐标。
B X 1 AX ，则称 A 相似于 B ，记作 A ~B。
相似是矩阵具有下面性质： 1）反身性： A～A； 2）对称性：若 A～B，则 B～A； 3）传递性：若 A～B，B～C，则 A～C。
定理 5 线性变换在两个基下的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相 似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。

21
2
3,求/
A(
)关于基
1
,

2
,

的坐标
3
?
例 5 在 P 3 中/A 定义如下：
/ A(1) (5,0,3) / A(2 ) (0,1,6) / A(3 ) (5,1,9)
1 (1,0,2) 其中 2 (0,1,1)
3 (3,1,0)
§3 线性变换的矩阵
一、线性变换的矩阵
1.线性变换的矩阵
定义 2 设 1, 2 ,, n 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组
基,/A L(V),令
/ A 1 a111 a21 2 an1 n / A 2 a121 a22 2 an2 n
二、坐标变换公式
定 理 3 设 V 是 数 域 P 上 n 维 线 性 空 间 ， / A L(V ), V ，
取V的基 1, 2 ,, n ，若/A 在这组基下的矩阵是 A， , / A 在这组基下的
坐标分别为 x1.x2 ,, xn ' ， y1, y2 ,, yn ' ，则

a21
an1
a22
an2
a2n

ann
称为线性变换 /A 在基 1, 2 ,, n 下的矩阵。
注意：1）线性变换/A 在基 1, 2 ,, n 下矩阵 A 的第 j 列是/A i 关于
1, 2 ,, n 的坐标。
2）线性变换/A 在给定基下的矩阵是唯一确定的；
(A) 是P3 的线性变换，但不是满变换； (B) 是P3 的线性变换，但不是单变换； (C) 是P3 的可逆线性变换； (D) 不是P3 的线性变换．
例 10
设B


1 0
12 ， 在线性空间 P22中定义一个变换 ： A BA，则
(A) 是P22 的线性变换，但不是满变换;

/ A n a1n1 a2n 2 ann n
可用矩阵表示为
/ A1, 2 ,, n / A1 , / A 2 ,, / A n 1, 2 ,, n A
其中
a11 a12 a1n
A

/ A1, 2 ,, n 1, 2 ,, n A
规定： : / A A，则 是 L（V）到 P nn 的一个映射，此映射称为线矩映
射。 命题 3 线矩映射是 L(V)到 Pnn 的双射。
定理 2 1, 2 ,, n 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个基，/A L(V ) ，且 /A( 1, 2 ,, n )=( 1, 2 ,, n )A.