第2章 流体力学基础[版]

1 2 1 2 P v1 gh1 P2 v2 gh2 1 2 2 1 2 或 P v gh C 2
上式即为伯努利方程的数学表达式。
二、伯努利方程的意义
（1）伯努利方程的实质是功能原理在流体力学中的应用
表示单位体积流体流过细流管 P 1 P 2
1 2 2 P P g ( h h ) ( v v 1 2 1 2 2 1 ) 2
解 出水管的体积流量 0.5min. 内的出水量 进水管的体积流量 5.5min. 内的进水量 因 V V B A 所以
A
h
B
QB S B vB QA S AvA
D = 0.8m
VB QBt B S B vBt B VA QA t A t B S AvA t A t B S B vB t B vA 1m s 1 S A t A t B
v3
流体质量元在不同地点的速度？可以各不相同；
流体在空间各点的速度分布？ 不变； “定常流动”并不仅限于“理想流体”。
二、流线
流线：分布在流场中的许多假想曲线，曲线上每一点的切线方 向和流体质量元流经该点时的速度方向一致。 v1
流场中流线是连续分布的； 空间每一点只有一个确定的流速方向， 流速大 所以定常流动时，流线不可相交。
§2.3
伯努利方程及其应用
一、 伯努利方程的推导
伯努利方程给出了作定常流动的理想流体中任意两点或 截面上 p 、v 及地势高度 h 之间的关系。 d v c
S2
Δt
2
如图，取一细流管，经过短暂时间 △t ，截
面 S1 从位置 a 移到 b，截面 S2 从位置c 移到
d， 流过两截面的体积分别为
bห้องสมุดไป่ตู้
v
流体质量元有别于力学中的质点
流体质量元
1. 宏观上看为无穷小的一点，有确 定的位置 r 、速度 v 、密度 和
压强 P 等；
2. 微观上看为无穷大，流体分子的
无规则热运动不占主导地位；
流体静力学（用P、F浮、 等物理量描述） 流体动力学（用P、v、h 、 等物理量描述）
流体力学
v2
流线密处，表示流速大，反之则稀。
三、流管
流管：由一组流线围成的管状区域称为流管。
流管内流体的质量是守恒的。 通常所取的“流管”都是“细流管”。 细流管的截面积 ，就称为流线。 S 0
四、连续性原理
描述了定常流动的流体在任一流管中不同截面处的流速 v 与 截面积 S 的关系。 取一细流管，任取两个截面 S Δt 1 和 S 2 ，两截面处的流速分别为 v1 S v 和 v 2，流体密度分别为 1 和 2 。 S 经过时间 t ，流入细流管的流体质量 v
Sv Q 常量
上式称为不可压缩流体的连续性原理或体积连续性方程，其 中 Q 称为体积流量。 对同一流管而言，截面积 S 小处则速度大，截面 积 S 大处则速度小
Sv C 是对细流管而言的。物理上的“细”，
指的是截面上各处速度一样，不论多大，均可看成 “细流管”。
例 一根粗细不均的长水管，其粗细处的截面积之比为4∶1，
P
2
A1 F1v1t P 1S1v1t P 1V A2 F2v2t P2 S2v2 t P2 V
由功能原理 ：
Δt
S1
S2
P
h2 h1
1
A Ek E p 即
1 2 2 (P P ) V ( v v 1 2 2 1 ) V g ( h2 h1 ) V 2
§2.2
理想流体的定常流动
理想流体: 绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体
流体受压缩程度极小，其密度变化可忽略时，可看作不可压缩流体。 流体在流动时，若能量损耗可忽略不计，可看作非黏滞流体。
一、 定常流动
流体流经的空间称为流体空间或流场 。 定常流动：流体流经空间各点的速度不 随时间变化。
v1 v2
§2.1
流体力学简介
流体: 具有流动性的物体（液体和气体）。 由连续分布的流体质量元组成的。 流体力学：主要研究流体本身的静止状态和运动状态。 流体力学中研究得最多的流体是水和空气。 流体力学的主要基础是牛顿运动定律和质量守恒定律。
流体力学是物理学的重要组成部分，它不 但应用到工程技术各个领域，而且也渗透到 农业与生命科学之中。
1 1 2
m1 1V1 1S1v1t 同理，流出的质量 m2 2 V2 2 S2v2 t
流管内流体质量始终不变，即
2
1 S1 v1 2 S 2 v 2
或
Sv C
m1 m2
（常量）
此即连续性原理或质量守恒方程，其中 Sv 称为质量流量。
对于不可压缩流体， 为常量，故有
S1
1
V1 v1S1t
由连续性原理得
V2 v2 S2 t V1 V2 V
a
Δt
在b到ｃ一段中运动状态未变，流体经过 △t 时间 动能增量：
1 2 1 2 Ek v2 V v1 V 2 2
流体经过△t 时间势能变化量：E p gh2 V gh1V Δt △t 时间内外力对该段流体做功：
压力所做的功； S1 S2 重力所做的功； S1 S 2 后动能的变化量； S1 S 2
表示单位体积流体流过细流管 g (h1 h2 )
1 2 2 (v2 表示单位体积流体流过细流管 v1 ) 2
（2）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理。 （3）P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。 （4）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v 之间的关系。 注意: (1)统一为国际单位；(2)仅适用于理想流体的定常流动。
已知水管粗处水的流速为2m· s-1。
求 解 水管狭细处水的流速 由连续性原理知 S1
v1
S2
v2
S1v1 S2v2
得
S1v1 1 v2 8m s S2
例
如图是一种自动冲水器的结构示意 图，进水管A 管口截面积为3cm2 ，出水 管B 管口截面积为22cm2 ，出水时速度 为1.5m· s-1,该冲水器每隔5min能自动持 续出水0.5min. 求 进水速度。