不定积分的概念和性质

由于两边的导数相等，故性质 2 成立.

( x 1) 例 4 求 d x． 2 x
3
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解
( x 1) x 3x 3x 1 dx 2 x2 d x x 3 1 ( x 3 2 )d x x x 1 1 x d x 3 1 d x 3 d x 2 d x x x 2 x 1 3 x 3ln | x | C． 2 x
3
3
2
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例5
求 (4 x 6e 2cos x )d x ．
3 x
解
3 x (4 x 6e 2cos x )d x
4 x d x 6 e d x 2 cos x d x
3 x
x 6e 2sin x C ．
4 x
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1 x x dx． 例 6 求 2 x (1 x ) 2 1 x x 解 x(1 x 2 ) d x x 1 x2 dx dx 2 2 x (1 x ) x (1 x ) 1 1 dx dx 2 1 x x
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说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形， 才能使用基本积分表.
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四、小结
• 原函数的概念： F ( x ) f ( x ) • 不定积分的概念： f ( x )d x F ( x ) C • 基本积分表（1） • 求微分与求积分的互逆关系
• 不定积分的性质
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二、基本积分表
1 x x 实例 C ( 1). x x d x 1 1
1

启示
能否根据求导公式得出积分公式？ 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可 以根据求导公式得出积分公式.
结论
基本积分表
1. 1 d x x C ； 1 x 2. x d x C ( 1) ； 1
如果忽略常数C ， 不定积分运算与求导运算 （或 微分运算）互为逆运算．
．
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1 例 1 求 d x． x 1 解 由(2 x ) ， 可得 x

1 d x 2 x C． x
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1 解 x 0时，(ln x ) ； x 1 1 x 0时， [ln( x )] ( x ) ； x x 1 即 (ln | x |) x 1 故 x d x ln | x | C ．
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原函数存在定理：
区间内的连续函数一定存在原函数．
x3 2 结论： C（其中C 为任意常数） 都是 x 的原函数， 3
而且也是它的全部原函数．
若函数有原函数，显然其原函数不是唯一的． 3 3 x x 2 2 1 ， 是 的原函数； x ( 1) x 例 3 3 3 x3 x ( 2) x 2 , 2 是 x 2 的原函数； 3 3
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定理 1
若 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 上的一个原函数，则
（C 为任意常数） 就是 f ( x ) 在 I 上原函数的全体． F ( x) C
即对任 证明 设 ( x ) 是 f ( x ) 在 I 上的任意一个原函数， 一 x I ，都有
则
( x ) f ( x ) ,
因此所求曲线方程为
y x 2 1．
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函 数 2x 的 不 定 积 分 为 2 x d x x C ， 而
2
y x 2 C 的图形是一簇抛物线（图 4-1） ．
图4-1
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函数 f ( x ) 的不定积分 f ( x )d x F ( x ) C 是一簇 函数， y F ( x ) C 的图形是一簇曲线，这簇曲线称为 积分曲线簇（family of integral curve） ．
[( x ) F ( x )] ( x ) F ( x ) f ( x ) f ( x ) 0 .
பைடு நூலகம்由第三章拉格朗日中值定理的推论可知，
( x ) F ( x ) C
其中C 为常数．
或
( x ) F ( x ) C ，
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定义 2
在 区 间 I 上 ， 函 数 f ( x) 的 原 函 数 的 全 体
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dx 2 sec x d x tan x C ； 8. 2 cos x dx 2 csc x d x cot x C ； 9. 2 sin x
10. sec x tan x d x sec x C ；
11. csc x cot x d x csc x C ；
2
解
2 2 (sec x 1)d x tan x d x
sec2 x d x d x
tan x x C ．
1 d x． 例 10 求 2 2 sin x cos x 2 2 1 sin x cos x dx dx 解 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x 1 1 ( 2 )d x 2 cos x sin x 1 1 dx dx 2 2 cos x sin x tan x cot x C ．
f ( x ) ，即对任一 x I ，都有 F ( x ) f ( x ) 或 d F ( x ) f ( x )d x
则 称 函 数 F ( x ) 为 f ( x ) 在 I 上 的 原 函 数 （ primary function） ．
3 x x3 是 x 2 在( , ) 上的原函数； 例 ( ) x2 3 3 (sin x ) cos x sin x 是cos x 在( , ) 上的原函数．
2
arctan x ln | x | C ．
x4 例 7 求 d x． 2 1 x 4 4 x x 1 1 解 1 x2 d x 1 x2 d x 2 2 ( x 1)( x 1) 1 dx 2 1 x 1 2 (x 1 )d x 2 1 x 1 2 x d x d x dx 2 1 x 1 3 x x arctan x C ． 3
由定义2，我们有
x x dx 3 C
2
3
cos x d x sin x C
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根据不定积分的定义，可以得到如下关系式：
f ( x )d x f ( x ) 或 d f ( x )d x f ( x )d x

F ( x )d x F ( x ) C 或 d F ( x ) F ( x ) C
F ( x ) C （C 为任意常数）称为 f ( x ) 在 I 上的不定积
分（indefinite integral） ，记作 f ( x )d x ，即
x F ( x) C f ( x )d被
积 被 分 积 号 函 数
积 表 达 式 积 分 变 量
任 意 常 数
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12. e x d x e x C ；
x a 13. a x d x C． ln a
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三、不定积分的性质
性质 1 两个函数代数和的积分等于其各自积分的 代数和，即
[ f ( x ) g( x )]d x f ( x )d x g( x )d x .
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第四章 不定积分
第一节 第二节 第三节
*第四节
不定积分的概念和性质 换元积分法 分部积分法 有理函数的积分
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第一节 不定积分的概念和性质
一、不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质
一、不定积分的概念
定义 1
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若在区间 I 上，可导函数 F ( x ) 的导函数为
故性质 1 成立.
显然， 性质 1 对被积函数为有限多个函数的代数和 时也成立.

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性质 2
常数因子可由积分号内提出，即
． kf ( x )d x k f ( x )d x （ k 0为常数）
证明 对该等式左、右两边分别求导，得
kf ( x )d x kf ( x ) ； k f ( x )d x k f ( x )d x kf ( x ) ，
.
证明 等式左边的导数为
( f ( x ) g( x ))d x f ( x ) g( x )

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等式右边的导数为
f ( x )d x g ( x )d x g ( x )d x f ( x )d x f ( x ) g( x )
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x 例 8 求 sin d x ． 2 1 cos x 2 x 解 sin d x dx 2 2 1 1 d x cos x d x 2 2 1 ( x sin x ) C ． 2
2
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例 9 求 t a n x d x．
1 例 2 求 d x． x
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例3
设曲线过点(1, 2) ，且其上任一点的斜率为该点
横坐标的两倍，求曲线的方程．
dy 2x， 解 设曲线方程为 y f ( x ), 根据题意知： dx 2 f ( x) 2 x d x x C ． 则
而曲线过点(1, 2) 可知 C 1，
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dx ln | x | C ； 3. x dx arctan x C ； 4. 2 1 x dx 5. arcsin x C ； 2 1 x 6. cos x d x sin x C ；
7. sin x d x cos x C ；