第五章 点的运动学

v vxi v y j vz k
v v x 2 v y 2 vz 2


vx cos( v i ) v
vy cos( v j ) v
vz cos( v k ) v
7

三. 加速度.
dvz dv dvx dvy a i j k dt dt dt dt d 2x d 2 y d 2z 2 i 2 j 2 k a xi a y j az k dt dt dt
2 2
B r cost vB x
周期运动
B点的速度和加速度
x(t T ) x t
1 f T 频率
§5-3 点的运动的自然坐标法 1、 弧坐标 s f (t )
2、自然轴系
r dr lim s 0 s ds
切向单位矢量


x (OC CM ) cos (l a) cos t
y AM sin (l a) sin t
消去t, 得轨迹
x2 y2 1 2 2 (l a） (l a)
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
2 x 2 y
l a
2
4
cos t (l a） sin t
2 2 4 2
l a 2al cos 2t ax (l a) cos t cos(a , i ) a l 2 a 2 2al cos 2t ay (l a)sin t cos(a , j ) 2 2 a l a 2al cos 2t
方向
at tg an
曲线匀速运动
at 0, v v0 常数, s s0 v0t
曲线匀变速运动
1 2 at 常数 , v v0 at t , s s0 v0t at t 2
课堂练习 ① dv 与 dv 有何不同?就直线和曲线分别说明。
dt
dt
dv 大小变化率,在曲线中应为切向加速度 a 。 dt
2 a at2 an 0.308m s2
由 at 常数, v0 0 有
v at t
例5-5 已知点的运动方程为x=2sin 4t m， y=2cos 4t m，z=4t m。求：点运动轨迹的曲率半径 解：由点M的运动方程，得
。
8 cos 4t , ax 32 sin 4t vx x x
xA b r sin b r sin( t )
xB r sin r sin( t )
已知： OM r, t , 常数, AB b。 求：① A，B点运动方程； ② B点速度、加速度。
aB xB r sin t xB
2 2 2
例5-2 正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O 轴匀速转动，它与水平线间的夹角为 t , 其中 为一常数。已知动杆上A，B两 为t = 0时的夹角， 点间距离为b。求点A和B的运动方程及点B的速度和加 速度。
已知： OM r, t , 常数, AB b。 求：① A，B点运动方程； ② B点速度、加速度。 解： A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。 运动方程
dt
2
表示速度大小的变化
v n a

表示速度方向的变化
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⑦点M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成
还是越跑越慢？ 解： S bt a dv v 2 b2 b2 a 0, a n , a a n dS dt v dt b常数 由于点由外向内运动,曲率半径 越来越小,所以加速度 越来越大。而速度 v =常数,故点运动快慢不变。
ds v dt
dv v 2 a n at an n dt
dv d 2 s at 2 — 切向加速度 dt dt
1 ds an dt v
2 2
— 法向加速度
全加速度
a at an
2 大小 a at2 an
引 言 运动学的一些基本概念 ①运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。 ②运动学研究的对象 ①建立机械运动的描述方法 ③运动学学习目的 ②建立运动量之间的关系 为后续课打基础及直接运用于工程实际。
④运动是相对的 ( relativity ):参考体(物);参考系;静系;动系。 ⑤瞬时、时间间隔 ⑥运动分类
例5-6 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动 （称为纯滚动），设轮子转角 t ( 为常值）， 如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一 点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法 向加速度。
已知：r, t , 常数。
求：M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。
54km h。求：a
t 0
, a
。
解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。
v 15m s at = 0.125m s 2 t 120s 2 ① t 0, an 0 a at 0.125m s
② t 2min 120s v 2 (15m s) 2 an = 0.281m s 2 R 800m
()t
( )t t 2 t 1
1)点的运动 2)刚体的运动
第五章 点的运动学
§5–1 点的运动矢量分析方法
§5–2 点的运动的直角坐标法
§5–3 点的运动的自然坐标法
§5-1 点的运动矢量分析方法
一.运动方程，轨迹
r r (t ) OM
二.点的速度
Δ r dr v lim r dt Δt0 Δt
a
[注 ]
a2
x
a 2
y
a 2
z
ax cos( a i ) a


这里的 x,y,z 都是时间单值连续函数。
x f 1(t) y f 2(t) z f (t) 3
当消去参数 t 后,可得到 F(x,y,z)=0 形式的轨迹方程。
8
例 5-1
椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，
dv dv a (直线.曲线都一样), dt a dt
为速度的
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②指出在下列情况下,点M作何种运动? <1> a n 0 , a 常数 <2> a 0, 常数 <3> a 0 (匀变速直线运动) (匀速圆周运动)
(匀速直线运动或静止) <4> a n 0 , (直线运动) <5> a 0, v 常数 (匀速运动) <6> 常数 (圆周运动) <7> a 0 (匀速运动) <8> a n 0 (直线运动) <9> a 0, an 常数 (匀速曲线运动) <10> a 常数, an 常数 (匀变速曲线运动)
密切面 法平面 主法线 副法线
切向单位矢量


主法线单位矢量
n
b n
副法线单位矢量
自然坐标轴的几何性质
曲率半径
d lim s0 s ds | || ' | 2 | | sin 1
2
当t 0时, s 0,sin | |1于是 2 2 d 1 lim lim n n ds s 0 s t 0 s
其端点C 与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺 A，B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。
已知：OC AC BC l , MC a , t。
求：① M 点的运动方程；
② 轨迹；
③ 速度；
④ 加速度。
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。 解：点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。 运动方程
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⑤ <1>点作直线运动时,若其速度为零,其加速度也为零
<2>点作曲线运动时,若其速度大小不变,加速度是否一定为零 答:<1>不一定.
速度为零时加速度不一定为零(自由落体上抛到顶点时)
<2> 加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度
⑥切向加速度和法向加速度的物理意义？
答： a dv
正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快，
27
例5-4 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀 加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到
达54km/h。求列车起点和未点的加速度。
已知：R=800m=常数， at 常数, v
t 0
v0 0
t 2min
v
t 2min
l a sin t vx x (l a) cos t vy y 2 2 2 2 2 2 2 2 v vx v y (l a) sin t (l a) cos t
l 2 a 2 2al cos 2 t (l a)sin t vx cos(v , i ) v l 2 a 2 2al cos 2 t (l a) cos t vy cos(v , j ) 2 2 v l a 2al cos 2 t
速度
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
8 sin 4t , a y 32 cos 4t vy y y
4, a z vz z z0
从而 v v v v 80m s, a a a a 32m s
2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z
2
dv 2 而 at 0, an a 32m s dt v2 故 2.5m an
所以
1 d n ds

3、速度
dr dr ds ds v v dt ds dt dt d dv dv 4、加速度 a v dt dt dt d d ds v 代入 n dt ds dt
则
三.加速度
Δ v dv d 2r a lim 2 r dt dt Δt0 Δt
5
Байду номын сангаас端曲线
速度 矢径矢端曲线切线
加速度 速度矢端曲线切线
§5-2 点的运动的直角坐标法
一.运动方程轨迹
r xi yj zk
二.点的速度 dy dr dx dz v i j k dt dt dt dt
解：M点作曲线运动， 取直角坐标系如图所示。
由纯滚动条件
OC MC r rt
从而 x OC O1M sin r t sin t y O1C O1M cos r 1 cost
已知：r, t , 常数。
求：M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。
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③点作曲线运动, 画出下列情况下点的加速度方向。 <1>M1点作匀速运动 <2>M2点作加速运动 <3>M3点作减速运动
④判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?
(加速运动)
(不可能)
(匀速曲线运动) (不可能或改作 直线加速运动) (不可能或改作 直线减速运动)
(不可能)
(减速曲线运动)