球的组合体专题训练

立体几何专题:球的组合体

一、棱锥的内切、外接球问题

例1.正四面体的棱长为a ，则其外接球和内切球的半径是多少？

例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，

如果AMD ∆的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

练习：一个正四面体内切球的表面积为π3，求正四面体的棱长。

二、球与棱柱的组合体问题

1.正方体的内切球：

球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。

如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2

a R =； 2.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=

。

图3 图4 图 5 图2

3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2

31==。 例3.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.

练习：一棱长为a 2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。

4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题

正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。

例4.已知正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。

练习：正四棱柱1111D C B A ABCD -的各顶点都在半径为R 的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：224R ）

【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。

图6

练习题：

1、 已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足PA 、PB 、PC 两

两垂直，当PC AB 取最大值时，三棱锥O PAB -（O 为球心）的高为_____。

2、 在平行四边形ABCD 中，0AB BD =，222||||6AB BD +=，若将ABD ∆沿BD 折

成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -外接球的表面积是____。

3、 在四面体A BCD -中，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，则此四面体外

接球的表面积为________。

4、 如果长方体1111ABCD A BC D -的顶点都在半径为9的球O 的球面上，那么长方体

1111ABCD A BC D -的表面积的最大值是_________。

5、 已知SC 为球O 的直径，A 、B 为该球面上的两点，2AB =，4

ASC BSC π∠=∠=，

若棱锥A SBC -，则球O 的体积为___。

6、 已知A 、B 、C 、D 的球面上，且AC BD ==， 5AD BC ==，AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积为_______。

7、 在三棱锥S ABC -中，AB BC ⊥，AB BC ==2SA SC ==，AC 的中点

为M ，SMB ∠S 、A 、B 、C 在同一个球面上， 则该球的表面积为_______。

8、 已知三棱锥P ABC -的各个顶点均在一个半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，

PO ⊥面ABC ，AC BC

=___。 9、 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，

其高为_________。

10、已知三棱锥S ABC -所有的顶点都在球O 的球面上，SA ⊥面ABC ，

SA =，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，则球O 的表面积为_______。

11、已知三边长分别为4、5、6的ABC ∆的外接圆恰好是球O 的一个大圆，

P 为球面上一点，若点P 到ABC ∆的三个顶点的距离相等，则三棱锥

P ABC -的体积为______。

12、已知三棱锥P ABC -中，90BPC ∠=︒，PA ⊥面BPC ，其中AB =

BC =AC =P 、A 、B 、C 四点均在球O 的球面上，则球O 的表面

积为_________。

13、已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA 、PB 、PC 两两

垂直，则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为________。

14、在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角

B A

C

D --，则四面体ABCD 外接球的体积为________。

15、设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，2AB AC ==，90BAC ∠=︒， 12AA =，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____。

16、在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥面ABC ，12AA =，BC = 90BAC ∠=︒，且三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则球的体积为_____。

17、在平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将其沿对

角线BD 折成四面体ABCD ，使面ABD ⊥面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为_______。

18、已知三棱锥S ABC -，侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，SAB ∆、SBC ∆、 SAC ∆的面积分别为1、32

、3，则此三棱锥外接球的表面积为_____。 19、球O 的球面上有四点S 、A 、B 、C ，其中O 、A 、B 、C 四点共面， ABC ∆是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ABC -的 体积的最大值为_________。

20、四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，记该球为球O ，底面

ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积最大时，

其表面积等于4+，则球O 的体积为___________。

21、如下图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的