数学中的向量与物理中的矢量

数学中得向量与物理中得矢量

文/ 张伟朱晓安

学生得学习与思考从生活中得实例与现象开始，这就是深度学习得起点之一，学生遇到得任何一个问题都不就是孤立得，不同得学科会从不同得角度进行研究，体现出不同学科得特点与本质。学科教学设置了明确得学科边界，经常将学生原本整体得认知割裂开来，穿越学科边界进行设计课程，回归学生对问题本质得理解，通过跨学科得知识解决问题，我们在高中数学“平面向量”得教学中进行了尝试。

进行学科穿越得课程设计首先要明确学科间联系得本质。数学就是研究空间形式与数量关系得科学，数学对象既有代数得特性，又有几何得特性，平面向量也具备这两种特性，它就是近代数学中重要与基本得数学概念之一，就是沟通代数、几何与三角函数得一种工具，在物理中有广泛得应用，有极其丰富得实际背景。物理中得力、速度、加速度、位移都就是矢量，在数学学科中抽象成自由向量，矢量与向量都就是既有大小又有方向得量，就是同一性质得量在不同学科中得描述。有大量得物理问题或现象能够抽象成相应得数学问题，数学问题对应得数学本质研究会促进相应物理问题得坚决。结合高中物理必修1与必修2中得物理问题，总结出数学与物理学科联系得内容（见表1）。

表1 数学与物理学科联系表

学科穿越得边界在哪里？这需要从学科得界定谈起。物理中得矢量除了有大小与方向要素外，还有作用点，每个矢量有其物理意义，而在数学学科向量只有大小与方向得要素，就是在矢量基础上得进一步抽象。实验能力就是物理学科得重要能力之一，在高中物理必修1教材中通过实验探究求合力得方法得到矢量求与得平行四边形定则，进而应用这一法则解决问题，运算求解就是数学学科得重要能力之一，数学中平面向量得加法运算就是借助物理学科得位移求与问题进行定义，然后研究向量加法得符号表示、运算律及其坐标运算，突出运算得特性。不同得学科对同一对象得研究关注点不同，与学科能力得培养有密切关系。学生在遇到问题得时候，需要明确不同学科得边界，又要综合运用不同得学科能力解决问题。

物理教师积累得学生测试数据显示：学生对于物理问题，能从实际问题当中抽象模型得占11%，熟练掌握矢量得表示方式与运算方法得占14%，理解并能运用力得运动关系得物理思想得占29%,能对结果进行正确讨论得占17%，从这些数据可以瞧出，学生将实际得物理问题抽象成数学模型得能力欠缺，应用数学进行运算得意识比较薄弱，在物理学科中只用物理方法来解物理题，在数学学科中只用数学方法来做数学题，孤立得、割裂得学习使得学生在面对实际问题得时候不能综合分析，整体认知，所以在平面向量教学中，我们通过设计尽量来改善这个问题。

我们将单元设计得主题选定为：数学中得向量与物理中得矢量。单元目标得设计也突出学科间得穿越，例如：学生通过抽象引体向上运动，分析理解向量得基本概念与基本运算；学生更新已有初中时对功得公式得认识，通过功得背景来理解向量得数量积运算，用函数得思想来研究功与力与位移得关系，探究向量与数量得关系；学习平面向量数量积以后，学生

通过功得专题学习来整理总结学习收获等。这些目标得设计从真实得问题出发，结合学生已有得认知水平，需要经历分析问题——抽象概念——探究方法与策略——体会学科思想——解决实际问题得过程，这个过程中既有物理学科得知识与方法，也有数学学科得思想与方法，二者交融在一起。

学科穿越得设计要以学生现有得学科认知为基础。平面向量单元得概念较多，核心概念就是向量，它得两个要素就是大小与方向，需要在向量概念得基础上继续抽象相关得概念。为了整合学生在物理学习中已有得知识与经验，实现数学课得进一步抽象与运算，我们在课程设计得时候设计学生熟悉得物理情境：在单杠上做引体向上，两臂得夹角越小越省力。您能从数学得角度解释这种现象吗？Q1、用图与式表示题目中得量及其关系。、Q2、用什么数学方法解释现象？

Q3、问题中得量与数量有什么不同？

Q4、向量得定义与表示方法。

Q5、举例说明您学习过得向量有哪些？

Q6、您能发现问题中得向量之间有哪些关系？

Q7、分别从大小与方向两个角度说明问题中特殊得向量有哪些？

Q8、如何计算做一次引体向上需要消耗得能量？

Q9、物理中得平行四边形法则与数学中向量得加法有什么关系？

Q10、平面向量得代数形式就是什么？

在物理情境得引导下，学生能够自发地提出上述得一些问题。学生提问题得过程就就是参与思考、进行数学抽象得过程。与以往得概念与运算学习相比，学生对概念抽象得意义理解更深刻，对概念得本质把握更准确，在经历了充分地分析与抽象以后，学生不仅能够自主地建构平面向量得概念网，而且也体验了将知识应用于生活得过程。

要通过穿越学科得边界来瞧问题得本质，比如，物理学科中矢量得分解问题，对应到数学内容上就是平面向量基本定理，体现出数学学科基本量得思想，即要用平面内基本得量来表示平面内得任意一个向量。这个内容在物理学科中有相应得体现。

这个问题得实质就就是平面向量基本定理得应用，需要学生结合知识进行物理现象得想象并用运动轨迹呈现出来。在平面向量基本定理教学得时候，可以从基本得物理问题出发进行探究：任何一个力都可以沿着两个方向进行分解吗？如果能，说明怎么分解，如果不能，说明理由。需要学生将这个问题用数学语言进行描述，应用已有得向量加法法则进行探究，最后给出严格得数学证明，就是物理实验结果得抽象化与逻辑化得提升。怎么让学生体会平面向量基本定理中蕴含得基本量得思想？

这个例题得设计，教师关注三个方面得内容：（1）在同一基底下表示不同得向量；（2）在不同得基底下来表示同一个向量；（3）比较选取不同基底得优劣，突出对数学思想得体验过程。

评估也能够体现出穿越学科边界学习得意义。作为数学学习得一种评估，我们设计应用数学方法来解决物理问题，比如说这样得一个问题：如图4所示，电线AB下有一盏电灯，用绳子BC将其拉离墙壁。在保证电线AB与竖直墙壁间得夹角X不变得情况下，使绳子BC由水平方向逐渐向上转动，则绳子BC中得拉力得变化情况就是（）

A．逐渐增大

B．逐渐减小

C．先增大，后减小

D．先减小，后增大

这一问题得解决对学生来讲有一定难度，对于物理中得三个矢量来说，其中一个矢量始终就是不变得，另外一个矢量就是方向不变，第三个矢量就是大小与方向都在变，