近世代数 置换群PPT

123 123 123 132 213 = 231
=
换群 . 无限的非交换群我们已经 看过,这是我们的第一个有限非 交换群.
123 312
所以z2不是交
例子3: 可以说是一 个最小的有限非交换 群,因为以后我们会知 道,一个有限非交换群 至少要有六个元.
1
2 2
i3
ik
1
( i 1i 2 i k ), ( i 2 i 3 i k i 1 ), 或 ( i k i 1 i k 1 )
例3：我们看s 这里
5
12345 1 2 3 2 3 1 3 1 2 23145
12345 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 5 1 3 2 4 23451
p q
p
把一个置换写成不相连的循环置换的乘积是我们表示置换的第 二种表示方法。
s 例5：4 的全体元用循环置换的方法写出来是
（1）； （12），（34），（13），（24），（14），（23）； （123），（132），（134），（143），（124）， （142），（234），（243）； （1234），（1243），（1324），（1342），（1423）， （1432）； (12）（34），（13）（24），（14） (23)。
1 1
1
2
2
3
k
这个a i 的像不是一个新的元，而是我们已经得 a 到过的一个元 a j k ，因为我们一共只有 a a 是一定存在的。我们说i a i n个元，这样的i 因为 a i ( 2 j k ) 已经 a i 是的像，不能再是i a 的像，这样，我们得到a i a i a i a i 因 为 知使r个元变动， k r。假如 k=r， 本身 已经是一个循环置换，我们用不着再证明什么。
s
3
例2:我们知道有6个元,这六个元 为 123 , 123 , 123 , 123 , 123 , 123
j 1 j k j k 1 j n j 1 j k j k 1 j n 2: 我们先证明一个公式若 1 (1 ) 2 (2) (2) (1 ) j 1 j k j k 1 j n j 1 j k j k 1 j n j 1 j k j k 1 j n 1 2 (1 ) 则 (1 ) (2) (2) j 1 j k j k 1 j n
二:置换群的表示方法 1,
A {a 1 , a 2 , a n }
i ki
1:
我们来看它的一个置换 : a a , i 1, 2 , , n 这样我们看到一个置换所发生的作用 可以由这n对整数来决定,我们的第一 2 1 n 12 n 种表示方法为 或
定理3：每一个有限群都与一个置换群同构。
k 1k 2 k
n

k 2k 1 k
n

例1: n=3.我们有1,2,3 三个数字,我们可 以给他们六种不同的次序,所以每一个 置换也有六种不同的表示方法.假如 那么 : a1 a 2 , a 2 a 3 , a 3 a1
123 132 213 231 312 321 231 213 321 312 123 132
12345 1 2 3 4 5 12345
我们说一个任意的置换当然 不一定是一个循环置换。
s 例4：4 的 就不是一个循环置 换。 使得每一个元都发生变动，因此， 假如 是一个循环置换，它一定是一个 4-循环置换。但 使a a a ，所以他不 会是一个4-循环置换，实际上 是两个 循环置换的乘积。有公式我们知道。
第六节 置换群
引言： 置换群是变换群的一 种特例，在代数里占有重要的地位， 比方说，在解决方程不能用根号解 这个问题是就要用到这种群 ，这种 群还有一个特点，就是他们的元可 以用一种很具体的符号来表示，使 得这种群的计算比较简单。
一.置换群的若干概念
定义1:一个有限集合的一个一一变换叫做 一个置换 定义2: 一个有限集合的若干个置换做成的 一个群叫做一个置换群. 定义3: 一个包含n个元的集合的全体置换做 成的群叫做n次对称成群.这个群我们用 来 表示. 定理1: n次对称群的阶是n!
要证明这个公式，我们只需注意，因为 1 是 j j a 元的一一变换，而在 1 之下，j , , a j 已经各是a j 像，所以他们不能再是a j ( i k ) 的像， 这就是当i k 时，i (1 ) j l ， k 这样 j l (a ) (a ) a a 当i k 时a 当i k 时 a j ( a j ) ( a j ) a j ( 2 )
( i 1 i 2 i k ) 1 但 1只使得r-k<r个元变动，找
归纳法的假定，可以写成不相连的循环置换 i1,i 2 的乘积： 1 2 m 在这些 里， , , i k 1 会出现，不然的话，l ( i p i q , ), p k 那么 i p 同 i q 不会出现在其余的中 出现， 1也 必使a i a i 但我们知道， 1 使得a i 不动，这 是一个矛盾。这样， 是不相连的循环置换的 乘积： ( i 1 i 2 i k ) 1 2 m 证完。
k
ik
i
j ,
k
k
1
j
j 1
k
1
2
k
1
假如k<r，有公式
i 1i 2 i k i k 1 i r i r 1 i n ' ' i 2 i 3 i 1i k 1 i r i r 1 i n
=
Байду номын сангаас
i 1i 2 i k i k 1 i r i r 1 i n i 1i 2 i k i k 1 i r i r 1 i n ' ' i 2 i 3 i 1i k 1 i r i r 1 i n i 1i 2 i k i k 1 i r i r 1 i n
1 2 1
1234 2143
1234 1234 2134 1243
定理2： 每一个n个元的置换都可以写成若干 个互相没有共同数字的（不相连的）循环置换 的乘积
证明：我们用数学归纳法。当 不使任何元 变动的时候，就是当 恒等置换的时候，定 r 理是对的，假定对于最多变动r-1 （ n）个 元定理是对的，现在我们变动r个元的 ， a 我们取一个被 变动的元a i ， i 从出发我们 a 找a i 的像a i ， i 的像 a i ，这样找下去，直到 我们第一次找到过的一个元a i 为止。
1
a , a , a j
2
k 1
n
k 1
这n个 , , a j 的
n
n
i
1
2
1
2
2
(1 )
ji
ji
jl
1
2
1
2
2
jl
ji
i
i
i
i
定义: 定义： n 的一个把 a i 变到 a ， 变 s ai i a 到a ，…， 变到 a i ，而使得其余 的元，假如还有的话，不变的置换， 叫做一个k-循环置换，这样的一个 置换我们用符号
表示的 方法不仅是一个符号.不管上一行的n 个数字的次序怎样排列,这个符号总能 告诉我们,经过这个使 某个元 a k 的像 是什么,利用这种符号我们可以直接计 算两个置换的乘积.
123 132 213 231 312 321
我们计算一下
123 123 213 132