圆锥曲线的截面

第一类课件：圆锥曲线的形成

制作过程：圆锥曲线的构造

1．构造能够控制截面作移动和倾斜变化的示意图

1作小椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴为OA ，短半轴为OB ；

（1） 过O 作OA 的垂线，在垂线的上方任取一点H ，作线段HO 并隐藏垂线。

用线段连接AH ，分别在线段 HO 和AH 上任取点C 和点D ，连接CD ；

（2） 作截面：以点C 为圆心，以小线段r 为半径作圆。在上半圆上任取一点

E ，隐藏小圆。依次选定点E 和点C 并标记为向量，把点C 按标记向量平移得到点E ′，再依次选定点C 和点D 并标记为向量，把点E 和E ′按标记向量平移得到点

F 和F ′。同时选定点E 、F 、F ′和E ′，用线段相连得截面EFF ′E ′，并涂上浅黄色，如图 1所示：

r

b ()

a ()圆锥截面的形成

<图 1> <图 2>

注意：利用示意图控制截面作移动和倾斜变化：

1）拖动点A 或点B ，可以改变椭圆的大小；

2）拖动点C 或点D ，可以使截面EFF ′E ′上下移动或上下倾斜；

3）拖动点E，可以使截面左右倾斜或翻转。

2．构造圆锥面被截面所截形成圆锥截面曲线的过程

（1）做大椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴O′A′=2|OA|，短半轴O′B′=2|OB|，椭圆中心为Ｏ′；

（2）作圆截面：依次选定点O和点H并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点H′,使O′H′=2 |OH|。在椭圆上任取一点Ｐ，用线段连接O′Ｐ依次选定点Ｐ和点Ｈ′并标记为向量，把点Ｈ′按标记向量平移得点Ｐ′，用线段连接ＰＰ′和Ａ′Ｈ′；

作P′轨迹，同时选定点P和点P′，执行〈作图/轨迹〉选项，求得一个与圆椭圆关于H′对称的椭圆；

作PP′轨迹，再同时选定线段PP′和点P，执行〈作图/轨迹〉选项，作出圆锥面，并用浅颜色表示。

（3）作截面：依次选定点O和C并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点C′，使O′C′=2|OC|。过点C′作平行于CD的直线a交H′A′于点D′。在直线a上任取一点M，选定点M和C′并标记为向量，把点C′按标记向量平移得点M′。过点M作EE′平行线d，在d上任取一点N，选定点N和M并标记为向量，使点M按标记向量平移得点N′。依次选定点M 和M′并标记为向量，使点N，N′按标记向量平移得点Q和Q′。隐藏直线d，用线段连接N、N′、Q′、Q得截面 NN′Q′Q，并涂上浅黄色。（4）作圆锥曲线：先求作截面NN′Q′Q与棱H′P的交点G。过点D′作O′A′平行线交O′H′于O″点。分别过点O″和D′作线段O′P和FF′的平行线b和c，并交于点R。作直线RC′，求得RC′与PP′的交点G，即为截面与棱PP′的交点。隐藏除直线a外的所有直线。

（5）求点G的轨迹，同时选定点G和点P，执行〈作图/轨迹〉选项，求得截面与锥面相交的圆锥曲线。根据截面不同位置，点G的轨迹可分别形成椭圆、抛物线、双曲线等，建立动画按钮控制截面的运动，改标签为“圆锥曲线”。

用同样方法，可求得圆锥曲线在水平面上的投影，即过G点作A′O′的垂线与PO′交于点G′，求点G′的轨迹即是。

（6）在控制图上选取四个特殊点，此时所成圆锥曲线为双曲线、抛物线、椭圆、圆。分别构造到这几个点的移动按钮，并改名为“双曲线”、“抛物线”、“椭圆”、“圆”如图2所示：