差分方程ppt课件

推论：一般情况下，若n= n0时，激励信号接入系统， 零状态是指 y-(n0-1)、 y-(n0-2) …... y-(n0-N)等于0。
讨论有关初值问题，引入起始样值y-(n)和初始样值 y+(n)的定义。这对于一些基本概念的理解是有益的。
例如，零输入响应是由起始样值y-(n)决定，而对于n= 0时刻接入的激励信号，系统的完全响应由
的起始样值与初始样值一般不相等。 因此，如果要求系统的完全响应，而给定的初值又
是n 0的起始样值y-(n)，那么，就要用迭代法由y-(n)求出
初始样值y+(n)，然后求系统的完全响应。 对于N阶因果系统，常给定y(-1)、 y(-2)、…... y(-N)
为边界条件。 若激励信号在n=0时接入系统，所谓零状态，指的是系
2
…...
y n
1 3
y n 1
1 n 3
3n
假设系统是因果系统， 由于激励u(n)在n=0接 入，那么,此解就是n<0 时系统的零输入响应。
当n0时，系统差分方程为： y(n)-3y(n-1)=u(n)
由于系统的因果性，而有
y 1
y 1
1 3
这样，由y+(-1)及y(n)-3y(n-1)=u(n)可求得y+(0)、 y+(1)….
当n 0时，则有：
y+(0)= 1 y+(1)= u(1) +3y+(0)=1+3*1=4
y+(2…)=.u..(2) +3y+(1)=1+3+32=13
y+(n)=
u(n)
+3y+(n-1)=1+3+32+……+3n
1 2
3n1
1
则方程的解为： y(n)= 1 3n1 1u(n)
2
由于n<0时， y(n)=0，所以该解是系统的零状态响应。
而初始样值是在激励信号加入之后系统所具有的 一组样值，以符号y+(n)表示。
分别利用起始样值y-(n)和初始样值y+(n)可以确定 系统的零输入响应和完全响应。
对于因果系统，如果激励信号在n=0时刻接入，则在n<0 的区间，系统在同一样点上的起始样值与初始样值相等，
即： y-(n)=y+(n)；但是在n 0的区间，同一样点上
统的起始样值y-(n)=0，即： y-(-1)、 y-(-2) …... y-(-N) 为0， 而不是指y (-1)、 y(-2) …... y(-N) 为0。
如果已知y(-1)、 y(-2)、…... y(-N)，欲求y(0)、y(1)、 …... y(N)，则根据因果系统在n<0， y-(n)=y+(n)；利用迭 代法求得。
§7.4 常系数线性差分方程的求解
描述线性、时不变离散系统的常系数线性差分方程的
一般形式可表示为： N
M
ak yn k br xn r
k 0
r0
式中ak、br是常数
求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种：迭代法、时域
经典法：齐次解+特解、零输入响应+零状态响应（利用卷积求系
统的零状态响应）、 z变换法（反变换y(n)）、状态变量（方
解方程。
这里为了说明起始样值和初始样值，我们把y(0)
看作y-(0)=1、 y+(0)=1分别讨论。 1、若把初值y(0)=1,看作激励加入前系统的起始
样值y-(0)，则y-(0)=1应满足方程： y(n)-3y(n-1)=0
当n<0时，用迭代法容易求得：
y
1
1 3
y
0
1 3
y
2
1 3
y
1
1 3
可见，对初值y(0)的理解不同，所得差分方程的解
也不同。
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（二）时域经典法：齐次解+特解
与微分方程的时域经典法类似，先分别求差分方程的
齐次解与特解，然后代入边界条件求待定系数。这种方法
便于从物理概念说明各响应分量之间的关系，但求解过程
比较麻烦。
1、差分方程的齐次解 N 一般差分方程对应的齐次方程的形式为： ak yn k 0 所谓差分方程的齐次解是满足上式的解。k 0
程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
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Baidu Nhomakorabea
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件， 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的 一组样值，以符号y-(n)表示。
n 0的初始样值y+(n)决定。 如果系统起始样值y-(n) 0，则系统差分方程的完全解
将不满足线性时不变的特性。 今后我们规定，所有初值如无下标，则一律按初始样
值处理。
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二、差分方程的解法（前3种方法）
（一）迭代法 （二）时域经典法：齐次解+特解 （三）零输入响应+零状态响应 （利用卷积求系统的零状态响应）
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（一）迭代法
是解差分方程的基础方法，包括手算逐次代入求解 或利用计算机求解。
这种方法概念清楚，也比较简便； 但只能得到其数值解，不易得到输出序列y(n)的解析 式（或封闭解），若要求通解，需用数学归纳法得出， 并证明。
例7-4-1
例7-4-2
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例7-4-1 已知y(n)=3y(n-1)+u(n)，且y(-1)=0,求解方程。
y+(0)= u(0) +3y+(-1)=1+1=2
y+(1)= u(1) +3y+(0)=1+3*2=7
y+(2)= u(2) +3y+(1)=1+3(1+3*2)=22
y+(3)…= u..(.3) +3y+(2)=1+3(1+3+2*32)=67 y+(n)= u(n) +3y+(n-1)=1+3+32+……+3n-1+2*3n
1 5 3n 1 2
所以，该差分方程的完全解为：
y(n)= 3n u(-n- 1) + 1 5 3n 1 u(n) 2
2、若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值y+(0)， 则y+(0)=1应满足方程： y(n)-3y(n-1)= u(n) 当n<0时，由迭代法得： y+(n)=0
n 0 y0 3y1 1 1 n 1 y1 3y0 1 4 n 2 y2 3 y1 1 13 n 3 y3 3 y21 40
由递推关系,可得输出值：
yn
1,
4,
13,
40,
n0
注意：这里y(-1)=0是按初始样值y+(-1)=0处理的。 返回
例7-4-2 已知差分方程：y(n)-3y(n-1)=u(n)，且y(0)=1,求