第4章 恒定磁场(8)

第四章 恒定磁场
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 §4.7 §4.8 §4.9 恒定磁场的实验定律和磁感应强度 磁场的散度和磁通连续性原理 真空中的安培环路定律和恒定磁场的旋度 矢量磁位和矢量泊松方程 媒质的磁化和安培环路定律 恒定磁场的方程、分界面上的边界条件 标量磁位 电感 磁场能量、磁场力
N 为单匝线圈磁通量
4
★电感（L）
(定义) 磁链与产生磁链的电流的比值。
L I
(4-85)
SI单位：H (Henry 亨利) 1H=1Wb/A
1mH=10-3H 1H=10-6H
5
L I
(4-85)
说明：
L只取决于回路自身的几何形状、匝数和磁介质 （媒质磁导率），与回路中电流I无关。
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例2 长为 l 的螺线管，横断面为 S ，线圈总匝数为 N ， 管中磁介质的磁导率为 ，求自感系数。
解：设回路中通有电流 I
N B I l
N2 Ψ NBS IS l 2 2 N Ψ N L S 2 lS l I l
2
l
Ln V
V lS
N n l
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N1 N 2 I1S Ψ21 N 2 BS 0 l
Ψ21 0 N1 N 2 S M 2.5110 5 H I1 l dI1 4 2.5110 (V) （2） 21 M dt
N1 I1 l
l
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例4 在磁导率为 0 的均匀无限大的磁介质中，有一 无限长直导线，与一边长分别为 b 和 l 的矩形线 圈在同一平面内，求它们的互感系数。
L L1 L2 2M
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§4.8 电感
一、电感
二、自感 三、互感 四、计算互感的一般公式（诺依曼公式）
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四、计算互感的一般公式（诺依曼公式）
应用磁矢位计算互感与自感的一般公式。 1. 求两导线回路的互感 设回路1通以电流I1， 则空间任意点的磁矢位为
穿过回路2的磁通为 21
0 I1 d l1 A 4 l1 R
自感的应用和防止
(1)应用 自感现象在各种电器设备和无线电设备中有着广泛 的应用。 自感线圈是交变电流路中的重要元件。 在无线电设备中，用它和电容器组成振 荡电路，以发射电磁波。 日光灯电路中的镇流器，也是利用自感 现象制成的。
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(2)防止
自感现象也有不利的一面。自感系数很大而电
流又很强的电路（如大型电动机的定子绕组）中， 在切断电路的瞬间，由于电流在很短时间内发生很 大变化，会产生很高的自感电动势，使开关的闸刀 和固定的夹片之间的空气电离而变成导体，形成电
两个细导线电流回路
0 4

l2
A d l2
l
2
I1 d l1 l1 R d l2
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0 21 4
l
2
I1 d l1 l1 R d l2
(4-93)
则两细导线回路间的互感
21 o d l1 d l 2 M 21 M12 I1 4 l2 l1 R
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讨论：
若回路导线直径较粗，则
式中：
L Li Lo
电流交链所形成电感。 内自感是导体内部仅与部分电流 交链的磁链与回路电流比值。
Li 为回路内自感，即导体内部磁场与部分
i Li I
即导体外磁场与回路交 Lo 为回路外自感，链所形成电感。
0 L0 I
外自感是导体外部闭合的磁链 与回路电流的比值。
8
二、自感 1. 自感现象
K合上灯泡A先亮，B后亮； K断开 B会突闪。 日光灯, 镇流器就应用了自感。
A B
K
定义： 由于自己线路中的电流变化而在自 己的线路中产生感应电流的现象。 反映： 电路元件反抗电流变化的能力 (电惯性)。
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2. 自感系数
在各向同性线性媒质中， 单匝闭合回路电流产生的磁感应强度B与回路电 流成正比， 则穿过回路的磁通量m也与I成正比， 因而与回路电流I交链的磁通量（即磁链或） 也与I成正比。
M
Baidu Nhomakorabea
— 互感系数
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说明：
互感系数M不仅回路自身的几何形状、匝数和磁介质 （媒质磁导率），而且两个回路之间的相对位置有关。 单位：H（亨利）
V s 1H 1 1 . s A
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3. 互感电动势
dΨ21 dI1 21 M dt dt
dΨ12 dI 2 12 M dt dt
单位电流变化引起感应电动势的大小。
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例3 设在一长为 1 m，横断面积 S = 10 cm2，密绕N1= 1000 匝线圈的长直螺线管中部，再绕 N2= 20 匝的 线圈。（1）计算互感系数；（2）若回路1中电流
的变化率为 10 A/s，求回路2中引起的互感电动势。 解：
（1） B1 0
电流I在l2上产生的磁矢位为
0 I1 d l1 A 4 l1 R
与l2交链的磁通为
单回路的自感
o I d l1 d l2 0 A d l2 l2 l l1 2 4 R
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外自感
0 o d l1 d l2 L0 l I 4 2 l1 R
L I
有
LI
由法拉第电磁感应定律
d dI i L dt dt
L
i
dI dt
自感系数的 一般定义式
自感系数的物理意义： 单位电流变化引起感应电动势的大小。
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4. 自感系数的计算
L Ψm / I
计算步骤： (1) 设线圈中通有电流 I (2) 求 B (3) 求全磁通 Ψm (4) L Ψm / I
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★作业★
4-1； 4-4：(1)、(2)； 4-6； 4-11。
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内自感
自感
电感 互感
I’m not calling for a second chance, I’m screaming at top of my voice! 7
外自感
§4.8 电感
一、电感
二、自感 三、互感
1、自感现象 2、自感系数 3、自感电动势 4、自感系数的计算
四、计算互感的一般公式（诺依曼公式）
21 M M 12
dI1 dt dI 2 dt
• 互感系数反映两耦合回路互感的强弱
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互感系数的物理意义： 由互感系数定义有 2 MI1
根据法拉第电磁感应定律有
d 2 dI1 2 M dt dt
则互感系数为 物理意义：
互感系数的 2 M 一般定义式 dI1 / dt
设导体的半径 R 远小于导线回路的曲率半径，且 认为电流均匀分布，则 内自感
总自感
o d l1 d l2 0l L L0 Li l 2 l1 4 R 8
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0l Li 8
例 4-14 P146 两个互相平行、共轴的单匝线圈，其中一个圆的半 径a远小于两线圈距离d，求它们之间的互感。
穿过宽度为dr,长度为l的矩形面积的磁通为 drl
r l d r
R
r=
l 导体纵截面
12
若将整个内导体电流看作1匝，则与d交链的电流为
I' r N 2 (匝) I a
磁链中的匝数，可根据
2
I r2 N' 2 I R
R
因此，有 内自感
o I lr r 2 0 I l i N'd 2 dr 2 s 0 2R R 8 i 0l Li I 8
弧。这会烧坏开关，甚至危及工作人员的安全。因
此，切断这类电路时必须采取特制的安全开关。常 见的安全开关是将开关放在绝缘性能良好的油中， 防止电弧的产生，保证安全。
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§4.8 电感
一、电感
二、自感 三、互感 四、计算互感的一般公式（诺依曼公式）
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三、互感
1. 互感现象
一个载流回路中电流变化，引起邻近另一回路中产 生感生电动势的现象，称为互感现象。
单位长度（l=1）上的内自感为：
0 Li 0 8
(4-62)
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3. 自感电动势
d m dI L L dt dt
当时 当时 ， ，
负号表示自感电动势总是要阻碍线圈回路本身电流的变化。 ，其方向与I的方向一致。
，其方向与I的方向相反一致；
L：自感系数描述线圈电磁惯性的大小
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Ψ 21 M 21 I1
C1
I1
C2 12
同理定义回路C2对C1的互感系数为：
Ψ 12 M 12 I2
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2. 互感系数
1 2
Ψ21 N 2Φ21 M 21I1
Ψ12 N1Φ 12 M12 I 2
I1 I2
M12 M 21 M
Ψ12 Ψ21
Ψ21 M I1 Ψ12 M I 2
K

R
G
21
2. 互感系数
在线性媒质中，回路1的电流I1产生与回 路2相交链的磁链21与I1成正比。
Ψ 21 M 21I1
电流I1 产生与回路2交链的磁链
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2. 互感系数
两个彼此靠近的回路C1和C2，回路C1中电流I1产生 的磁场与回路C2交链的磁通量为21 ，则定义回路 C1对C2的互感系数为：
§4.8 电感
一、电感
二、自感 三、互感 四、计算互感的一般公式（诺依曼公式）
2
§4.8 电感
一、电感
二、自感 三、互感 四、计算互感的一般公式（诺依曼公式）
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一、电感 ★磁链（或）
(定义) 与电流相交链的磁通量。
说明：
若回路由N匝线圈绕成，则线圈的总磁通量为各单 匝线圈磁通量之和，称为磁链。 若N匝线圈密绕，回路总磁通量为：
I 0 解：B 2 r
（与例4-13类似，P146） I
r a dr b l
0 I dΦ BdS ldr 2 r a b Il 0 Il a b 0 Φ dr ln a 2 r 2 a
Φ 0l a b M ln I 2 a
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例5
2 0 Ia (4-39a) Ap (r , , ) a sin 2 4r 2 0 Ia A21 a sin 2 4r 2 0 Ia 21 m 21 A21 d l2 2bA21 2b sin 2 C2 4r 2 2 2 0a b 21 0a M 2b sin 2 2 2 3/ 2 I1 4r 2(b d )
11
例 1 试求无限长直导体的内自感 Li。
r 解： 设安培环路包围部分电流I’，则有
I I 2 2 LH d l I R 2 r R 2 r (0 r R)
R
I H r, 2 2R
0 I B r 2 2R
0 I d Bd S 2 2R
自感分别为 L1 和 L2 ，互感为 M 的两线圈串联。
如果两线圈的磁通互相加强，称为顺接（图a）， 如果两线圈的磁通互相削弱，称为反接（图b）。 计算在这两种接法下两线圈的等效总自感。
1
2
（ 图 a）
1
2 （ 图 b）
30
解：顺接:
dI dI 1 L1 M dt dt
dI dI 2 L2 M dt dt
1 2
（ 图 a）
dI 1 2 ( L1 L2 2M ) dt
L L1 L2 2M
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反接：
dI dI 1 L1 M dt dt
dI dI 2 L2 M dt dt
1 2 （ 图 b）
dI 1 2 ( L1 L2 2M ) dt
若回路1、2分别由 N1、N2 细线密绕，互感为
N1 N 2 o d l1 d l2 M 21 M 12 4 l2 l1 R
(4-94)
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2. 用诺依曼公式计算回路的外自感 设回路中有电流 I ，总磁通=外磁通+内磁通； 计算外磁通时，可以认为电流是集中在导线的 轴线l1上，而磁通则是穿过外表面轮廓l2所限定 的面积。