2021届四川省成都市新都一中高三国庆假期作业理科数学(1)含详解

A． 3 i
B． 3 i
C． 3 i
D． 3 i
3．已知命题 p ： x (,0) ， 3x 2x a ，若 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． a 1
B． a 0
C． a 1
D． 0 a 1
4．在 ABC 中， ACB ，点 D 在线段 BC 上， AB 2BD 12 ， AD 10 ，则 AC （ ） 4
2021 届四川省成都市新都一中高三国庆假期作业
理科数学（1）详解
1．D
∵ N {x | x 0 或 x 3}
∴ CR N x | 0 x 3 ,故， M CR N 1, 2 ,故选：D
2．A
由题意可得 z 1 3i 1 3i i 3 i ，所以 z 的共轭复数是 3 i .故选：A
24r
4 4 r
x 3
，
令
4
4 3
r
0
，得
r
3 ，常数项为
C43
21
8
，故答案为
8.
15．②③
解：由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为 1，
故|AC|＝1，|AB| 2 ，
斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴，则 A 点保持不变，
B 点的运动轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆，
1 .故选：B
13．37
解：100101(2) 1 20 1 22 1 25 37 .故答案为：37.
14．8
在 2x
1 3x
n
的二项展开式中，令
x
1 得所有项的系数和为 3n
81 ，解得 n
4
，
所以
2x
1 3x
4
的二项展开式中的通项为
Tr
1
C4r
(2
x)
4
r
(
1 3x
)r
C4r
i
3．A 解：当命题 p 为真命题时，
x , 0
， 3x
Biblioteka Baidu
2x a
等价于 a
3 2
x
,
x , 0
所以有 a 1 所以当 p 为假命题时，实数 a 的取值范围是： a 1 .故选：
A.
4．C
如图所示：
在△ABD 中，由余弦定理可得
cos B AB2 BD2 AD2 5 ，
2AB BD
9
所以 BAF2 ~AF2F1 ，所以 AF2 2 | AB | F1F2 ，
即 (2c 2a)2 | AB | 2c ，所以| AB | 2(c a)2 ， c
由角平分线定理知， | AB | AF2 ，则 BF1 1 F1F2 1，
BF1 F1F2
| AB |
AF2
所以 | AB | AF1
B． 4 6
C． 6
D． 6 2
x2 11．已知双曲线 C : a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左、右焦点分别为 F1(c, 0), F2 (c, 0) ，
A 为双曲线 C
的右支
上一点，且 AF1 2c ， AF1 与 y 轴交于点 B ，若 F2B 是 AF2F1 的平分线，则双曲线 C 的离心率 e (
②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角；
③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°；
④直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60°.
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
16．已知函数 f (x) sin 2x 4a cos x 在 (0, ) 单调递增，则实数 a 的取值范围_________. 2
x2 ，求证： x1 x2
1.
22．在平面直角坐标
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x y
t 2
t
（
t
为参数），以原点
O
为极点，
x
轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线 C
的极坐标方程为 2
4 1 sin2
.
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）设 P 0, 2 ，直线 l 与曲线 C 的交点为 M 、 N ，线段 MN 的中点为 Q ，求 OP OQ 的值.
2021 届四川省成都市新都一中高三国庆假期作业
理科数学（1）
一、单选题
1．已知集合 M {2, 1, 0,1, 2,3}， N {x | x2 3x… 0}，则 M CR N （ ）
A．2, 1, 0,3 B．1, 2,3
C．0,1, 2,3
D．1, 2
2．已知 i 为虚数单位，且复数 z 满足 i z 1 3i ，则 z 的共轭复数（ ）
D． 2 ln 4
14．若 2x
1 3x
n
的展开式中所有项系数和为
81，则展开式的常数项为________.
15．a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边
AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角；
2,
2
.
令 z 3x 2 y ，得 y 3 x z ， z 表示直线 y 3 x z 的 y
22
22
轴截距 2 倍.
当直线 y 3 x z 过 A2, 2 时， z 取得最大值.
22
zmax 6 4 10 .故选：A
6．B
解：由题意知，
Sn
a1n
n n 1
2
d
d 2
n2
3
d 2
A． 10 2 3
B． 20 2 3
C． 16 7 3
D． 8 7 3
x y 0
5．若变量
x
，
y
满足约束条件
x
y
0
，则 3x 2 y 的最大值是（ ）
3x y 4 0
A．10
B．0
C．5
D．6
6．设等差数列an 满足： a1 3，公差 d 0,10 ，其前 n 项和为 Sn ．若数列 Sn 1 也是等差数列，
)
A． 5 1
B． 1 5 2
C． 3 5 2
D． 5
12．已知函数
f
x
x, ln
0
2x
x
,1
1,
x
2,
若存在实数
x1
，
x2
满足
0
x1
x2
2 ，且
f
x1
f
x2 ，则
x2 x1 的最大值为（ ）
e
A．
2
二、填空题
B． e 1 2
C．1 ln 2
13．将二进制数1001012 化成十进制数，结果为__________.
20．已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的离心率 e
3 ，椭圆 C 上的点到其左焦点的最大距离为 2
2 3.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过点 A a, 0 作直线 l 与椭圆相交于点 B，则 y 轴上是否存在点 P，使得线段 PA PB ，且
PA PB 4 ？若存在，求出点 P 坐标；否则请说明理由.
的概率是（ ）
1
A．
4
1
B．
3
5
C．
32
9．函数
y
2
x cos x
1
，
x
3
,
3
的图象大致是（
）
3
D．
16
A．
B．
C．
D．
10．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA PB PC ，且两两垂直， ABC 是边长为 2 的正三角形，则球 O 的体积为（ ）
A． 8 6
21．已知函数 f x m sin 1 x ln x .
（1）当 m 1时，求函数 f x 在 0,1 的单调性；
（2）当 m 0 且 a 1 时， g x af x 1 ，求函数 g x 在 0, e 上的最小值；
e
x
（3）当 m 0 时， h( x
f
x
1 2x
b 有两个零点 x1 ， x2 ，且 x1
则
Sn an
5 1
的最小值为（
）
A．3
B．2
C．5
D．6
7．已知
a
(x, 2, 0),b
(3, 2
x,
x2 )
，且 a
与b
的夹角为钝角，则
x
的取值范围是（
）
A． x 4
B． 4 x 0
C． 0 x 4
D． x 4
8．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷 5 次，至少连续出现 3 次正面朝上
AF2 F1F2 AF2
，所以
| AB | 2c 2a 2c 2c(c a) 2(c a)2 ，
2c 2a 2c
2c a
c
故 c2 3ac a2 0 e2 3e 1 0 e 3 5 ．故选：C． 2
12．B
f
x
x, 0 x 1,
ln 2x,1 x
2
的图象如图
10.828
19．如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AC ，顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ，且 AB AC A1B 2.
（1）证明：平面 A1AC 平面 AB1B ；
（2）求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小； （3）若点 P 为 B1C1 的中点，并求出二面角 P AB A1 的平面角的余弦值．
存在实数 x1 ， x2 满足 0 x1 x2 2 ，且 f x1 f x2 ，
即 x1 ln 2x2
∴
x2
1,
e 2
，则
x2
x1
x2
ln
2 x2
令
g
x
x
ln 2x ，
x 1,
e 2
，则
gx
x
1 x
∴
g x 在 1,
e 2
上单调递增，故
g
x max
g
e 2
e 2
所以
an
a1
n
1 d
2n
1，
Sn
n2
2n ，所以
Sn an
5 1
n2 2n 2n 2
5
n 12 2n
1
4
n
2
1
n
2 1
2
n 1 2 2 ，当且仅当 n 1 2 ，
2 n1
2 n1
即
n
1
时等号成立.故
Sn an
5 1
的最小值为
2，故选:B.
7．A
∵ (x, 2, 0)
3, 2 x, x2
3
10．C
由题中条件易得 PA PB PC 2 ，从而球 O 的半径
r 3 2 6 ，体积V 4 r3 6 ，
2
2
3
故选：C．
11．C
如图：由题意得： AF1 F1F2 ，所以 F1AF2 F1F2 A ，
又 F1B F2B ，所以 BF1F2 BF2F1 ，
又 F2B 是 AF2F1 的平分线，所以 BF1F2 AF2B ，
三、解答题
17．已知 x R ，设 m 3 cos x,sin x cos x ， n 2sin x,sin x cos x ，记函数 f x m n .
（1）求函数 f x 的最小值，并求出函数 f x 取最小值时 x 的值；
（2）设 ABC 的角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 f C 2 ， c 2 3 ，求 ABC 的面
12
60
B 学校
16
24
40
合计
64
36
（1）估计 A 校学生数学成绩为优秀的概率；
（2）能否有 99.9% 的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关？
附
K
2
a
n ad bc2 bc da cb
d
P K 2… k
0.050
0.025
0.010
100 0.001
k
3.841
5.024
6.635
n
，则
S1 3, S2 6 d , S3 3d 9 ，
因为 Sn 1 是等差数列，所以 2 S2 1 S1 1 S3 1 ，即
2 7 d 2 3d 10 ，两边平方整理得14 d 4 3d 10 ，平方整理得，
d 2 20d 36 0 ，解得 d 2 或18 ，因为 d 0,10 ，所以 d 2 ，
剩下 2 个空位可是 0 或 1，这三种排列的所有可能分别都是 2 2 4 ，
但合并计算时会有重复，重复数量为 2 2 4 ， 事件的样本点数为： 4 4 4 2 2 8 个．
故不同的样本点数为 8 个， 8 1 .故选：A 32 4
9．A
解：函数 f (x) f (x) ，则函数 f (x) 是奇函数，排除 D， 当 0 x 时， 2cos x 1 0 ，则 f (x) 0 ，排除 B，C，故选：A．
sin B 1 cos2 B 2 14 ， 9
在 ABC 中，由正弦定理得 AB AC ，可得 sin C sin B
AC
AB sin
B
12
2
14 9
16
7
.故选：C.
sin C
2
3
2
5．A 不等式组表示的可行域如图所示：
联立
x y 0 3x y 4
0
，解得
x y
2 2
，
A
，∴ a 与 b 不共线，
∵
a
与
b
的夹角为钝角，∴
ab
0
，即
3
x
2(2
x)
0
，
解得 x 4 ，故选 A.
8．A
样本空间样本点为 25 32 个，
具体分析如下： 记正面向上为 1，反面向上为 0，三个正面向上为连续的 3 个“111”， 有以下 3 种位置 111__ __，__111__，__ __111．
积 S 的最大值. 18．某县教研室联合本县 A ， B 两所招生生源大体相当的学校举行一次高一数学联考，满分 150 分，规定
120 分及其以上为优秀，教研室为了研究数学成绩与学校是否有关，用简单随机抽样的方法调查了 100 名 联考学生的成绩，得到下面 2 2 列联表：
优秀
非优秀
合计
A 学校
48