第二章 n维向量

=
a11 a21 am1
a12 a1s
a22 am
a2s 2 ams
b11 b21 bs1
b12 b22
bs 2
b1n 1
b2n bsn
2
s
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
2. 向量组的线性表示与矩阵乘积
六. 线性表示(linear representation)
n维向量: , 1, 2, …, s
若存在常数: k1, k2, …, ks使得
= k11+k22+…+kss
则称能由向量组1, 2, …, s线性表示 ( can be linearly represented by 1, …)
第二章 n维列向量
例1. n维基本单位向量组
§2.1 n维向量及其运算
1
0
0
1 = 0 , 2 = 1 , …, n = 0 .
… … …
0
0
1
standard/natural basis of Rn
第二章 n维列向量
任何一个n维向量
a1
= a2
§2.1 n维向量及其运算
…
an
都能由1, 2, …, n线性表示. 事实上,
能由1, 2, …, s线性表示
方程组Ax = 有解.
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
§2.2 向量组的秩和线性相关性 一. 基本概念
列向量组: 1, 2, …, s
矩阵A = (1, 2, …, s)
矩阵A的秩
向量组1, 2, …, s的秩
r(1, 2, …, s)
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
与矩阵的线性运算相同
四. n维向量的线性运算性质
与矩阵的线性运算性质相同
五. 线性组合(linear combination)
n维向量: 1, 2, …, s
数(scalars): k1, k2, …, ks
线性组合: k11+k22+…+kss
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
第二章 n维向量
§2.1 n维向量及其运算
一. 历史
古希腊的亚里士多德: 二力合成的平行四边形法则 法国数学家笛卡尔和费马: 解析几何 1831年, 德国数学家高斯: 复平面的概念 英国物理学家数学家亥维赛: 向量分析 1844年, 德国数学家格拉斯曼: n 维向量 1888年, 意大利数学家皮亚诺: 以公理的方式定义了有/无限维向量空间
例如:
2, 0
3 0
能由 1 , 0
0 1
线性表示,
但 1 , 0 不能由 2 , 3 线性表示.
01
00
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
a11 a12 a1s
A:
a21
,
a22
,,
a2s
am1 am2 ams
c11 c12 c1n
C:
c21
,
c22
§2.2 向量组的秩和线性相关性
行向量组: 1, 2, …, s
1 矩阵A = 2
s
…
矩阵A的秩
向量组1, 2, …, s的秩
r(1, 2, …, s)
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
r(1, 2, …, s) s
r(1, 2, …, s) < s
1, 2, …, s
线性相关
(linearly dependent)
2 = 2 + 23, 3 = 3 + 21.
证明: 1, 2, 3线性无关.
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
二. 向量组之间的关系
1. 给定两个向量组
A: 1, 2, …, r B: 1, 2, …, s
若B组中的每个向量都能由A组中的向 量线性表示, 则称向量组B能由向量组 A线性表示.
如: A =
1 0
0 1
1 0
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
(2) 只含有一个向量的向量组线性相关
= 0.
(3) 含有零向量的向量组一定线性相关.
(4) 含有两个向量, 的向量组线性相关 , 的分量成比例.
(5) 当s > n时, 任意s个n维向量都线性相关.
例3. 设1, 2, 3线性无关, 1 = 1 + 22,
2
c2n cmn
=
a21 am1
a22 a2s am2 ams
b21 bs1
b22 bs 2
b2n bsn
1 2 n
1 2 s
第二章 n维列向量
[b11 b12 b1n ]
B:
[b21
b22
b2n ]
[bs1 bs2 bsn ]
§2.2 向量组的秩和线性相关性
,,
c2n
cm1 cm2 cmn
简记为A : 1, 2, …, s, C : 1, 2, …, n. 若j = b1j1 + b2j2 + …+ bsjs , j =1,2,…,n, 即
c11 c12 c1n a11 a12 a1s b11 b12 b1n
c21 cm1
c22 cm
[c11 c12 c1n ]
C:
[c21
c22
c2n ]
[cm1 cm2 cmn ]
简记为B: 1, 2, …, s, C : 1, 2, …, m. 若i = ai11 + ai22 + …+ aiss, i =1,2,…,m, 即
1 2
m
c11 c21 cm1
c12 c22
cm2
c1n c2n cmn
§2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6
第二章 n维列向量
二. n维向量(vector)的概念
§2.1 n维向量及其运算
分量
本质
n
维 向
几何背景
量 表现形式
n个数a1, a2, …, an 构成的有序数组
向量/点的坐标
行矩阵 列矩阵
行向量 列向量
第二章 n维列向量
三. n维向量的线性运算
r(1, 2, …, s) = s
1, 2, …, s
线性无关
(linearly independent)
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
几个显然的结论:
(1)
1, 2, …, s线性相关
1T, 2T, …, sT线性相关
注意: 不要混淆: “矩阵A的行向量组线性相关”与 “矩阵A的列向量组线性相关”
1
0
0
= a1 0 + a2 1 + … + an 0 .
…
…
…
0
0
1
第二章 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ维列向量
§2.1 n维向量及其运算
例2.
a11 a12 … A = a21 a22 …
………
an1 an2 …
a1s
a2s …
= (1, 2, …, s),
ans
b1
x1
= b2 , x = x2 ,
… …
bn
xs