高等数学交错级数审敛法,绝对条件收敛
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判定正项级数敛散性的思路与方法：
n 1
un
是否为等比 级数或p级数
不是
是 确定敛散
观察
lim
n
un
0?
是
比值审敛法 nlimuunn1
1
1
收敛
发散
不是 发 散
用它法判别
1 不定 比较审敛法
部分和极限
二、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数
1 1n 1 10n 收1n 敛
2! 3! 4!
n! 1n0!n
3)
1 10
2 102
3 103
4 104
(1)n1
n 10n
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n!
3)
n n110n
.
发散
即：原级数可能发散，可能条件收敛。
定理3 . 比值判别法 ( D’alembert 判别法)
设
满足 lim un1 , 则
u n n
(1) 当 1 时, 级数绝对收敛 ;
(2) 当 1 时，级数发散 ；
(3) 当 1 时，本法失效 .
例2 判定级数
的敛散性 .
解：
收敛
收敛
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
数 条件收敛 .
例如
：
(1)n1
1
为条件收敛
.
n1
n
(1)
n1
n1
n 10n
均为绝对收敛.
定理2：若
收敛 ,则 un 也收敛
n1
rn un1 un2 un1
例1 简答：用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
收敛
2)
2 1 1
3 1
4 1
un1 n (u1n)n1
(n10n1)1! 1 1n
或
称为交错级数 .
交错级数审敛法 ( Leibnitz 莱布尼兹定理 )
若交错级数
满足条件:
1)
un un1 ( n 1, 2, );
2)
lim un 0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 其和非负且 S u1,
n1
其余项满足 rn un1 .
证: S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
所以，当 x Βιβλιοθήκη Baidu 1 时，级数绝对收敛 ；
当 x 1 时，级数绝对发散 ；
当 x 1 时，级数为 1 发散；
n1 n
当 x 1 时，级数为
(1)n
条件收敛。
n1 n
小结
1.交错级数的 Leibniz审敛法:
un un1 0 lim un 0
n
(1)nun 收敛
结论：交错级数
(1)n1
n1
1 np
(p
0)
当p>1时，绝对收敛；当p 1时，条件收敛。
例4. 判定级数 xn 的敛散性
n1 n
解:Q lim un1 lim xn1 n lim n x x
u n n
n n 1 xn
n n 1
n4
n1
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2)
(1)n
1
n1
n
p级数中p<1的情形
(2) Q
(1)n 1
1
是发散的.
n1
n n1 n
而
un
1 n
1 n 1
un1,
且
lim
n
un
lim
n
1 0 n
所以根据莱布尼兹判别法，原级数收敛,且为条件收敛。
所以，对一切 x 值，级数绝对收敛。
例3. 判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛，
还是条件收敛？
(1) sin n ;
n4
n1
(2)
(1)n
1
n1
n
p级数中p>1的情形
解: (1)
sin n
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,
由比较审敛法可得 sin n 收敛
n1
2.绝对收敛与条件收敛的概念。
3.任意项级数敛散性判定思路： 先判断其绝对值级数是否收敛？
1）若收敛，则原级数为绝对收敛；
2）其发散，则若是交错级数，再用莱布尼兹审敛法判 断。若收敛，则原级数为条件收敛；
3）否则发散。
证: 设
收敛 ,
令
vn
1 2
( un
un
)
(n 1, 2, )
显然 vn 0 , 且 vn un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
n1
而 un 2 vn un 且 un , 2 vn 收敛。
n1
n1
所以 un 也收敛。
n1
注意：
发散，只能说明原级数不绝对收敛；
S2n u1 (u2 u3) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1) u2n
是单调递增有界数列, 故
又
lim
n
S2n1
lim (
n
S2n
u2 n 1 )
故级数收敛于S, 且 0 S u1.
级数余项：
(un1 un2 )
n 1
un
是否为等比 级数或p级数
不是
是 确定敛散
观察
lim
n
un
0?
是
比值审敛法 nlimuunn1
1
1
收敛
发散
不是 发 散
用它法判别
1 不定 比较审敛法
部分和极限
二、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数
1 1n 1 10n 收1n 敛
2! 3! 4!
n! 1n0!n
3)
1 10
2 102
3 103
4 104
(1)n1
n 10n
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n!
3)
n n110n
.
发散
即：原级数可能发散，可能条件收敛。
定理3 . 比值判别法 ( D’alembert 判别法)
设
满足 lim un1 , 则
u n n
(1) 当 1 时, 级数绝对收敛 ;
(2) 当 1 时，级数发散 ；
(3) 当 1 时，本法失效 .
例2 判定级数
的敛散性 .
解：
收敛
收敛
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
数 条件收敛 .
例如
：
(1)n1
1
为条件收敛
.
n1
n
(1)
n1
n1
n 10n
均为绝对收敛.
定理2：若
收敛 ,则 un 也收敛
n1
rn un1 un2 un1
例1 简答：用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
收敛
2)
2 1 1
3 1
4 1
un1 n (u1n)n1
(n10n1)1! 1 1n
或
称为交错级数 .
交错级数审敛法 ( Leibnitz 莱布尼兹定理 )
若交错级数
满足条件:
1)
un un1 ( n 1, 2, );
2)
lim un 0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 其和非负且 S u1,
n1
其余项满足 rn un1 .
证: S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
所以，当 x Βιβλιοθήκη Baidu 1 时，级数绝对收敛 ；
当 x 1 时，级数绝对发散 ；
当 x 1 时，级数为 1 发散；
n1 n
当 x 1 时，级数为
(1)n
条件收敛。
n1 n
小结
1.交错级数的 Leibniz审敛法:
un un1 0 lim un 0
n
(1)nun 收敛
结论：交错级数
(1)n1
n1
1 np
(p
0)
当p>1时，绝对收敛；当p 1时，条件收敛。
例4. 判定级数 xn 的敛散性
n1 n
解:Q lim un1 lim xn1 n lim n x x
u n n
n n 1 xn
n n 1
n4
n1
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2)
(1)n
1
n1
n
p级数中p<1的情形
(2) Q
(1)n 1
1
是发散的.
n1
n n1 n
而
un
1 n
1 n 1
un1,
且
lim
n
un
lim
n
1 0 n
所以根据莱布尼兹判别法，原级数收敛,且为条件收敛。
所以，对一切 x 值，级数绝对收敛。
例3. 判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛，
还是条件收敛？
(1) sin n ;
n4
n1
(2)
(1)n
1
n1
n
p级数中p>1的情形
解: (1)
sin n
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,
由比较审敛法可得 sin n 收敛
n1
2.绝对收敛与条件收敛的概念。
3.任意项级数敛散性判定思路： 先判断其绝对值级数是否收敛？
1）若收敛，则原级数为绝对收敛；
2）其发散，则若是交错级数，再用莱布尼兹审敛法判 断。若收敛，则原级数为条件收敛；
3）否则发散。
证: 设
收敛 ,
令
vn
1 2
( un
un
)
(n 1, 2, )
显然 vn 0 , 且 vn un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
n1
而 un 2 vn un 且 un , 2 vn 收敛。
n1
n1
所以 un 也收敛。
n1
注意：
发散，只能说明原级数不绝对收敛；
S2n u1 (u2 u3) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1) u2n
是单调递增有界数列, 故
又
lim
n
S2n1
lim (
n
S2n
u2 n 1 )
故级数收敛于S, 且 0 S u1.
级数余项：
(un1 un2 )